Problemi

1. Ad un gioco di società si lancia dado. Se il numero è pari si retrocede di un numero di caselle pari alla metà del valore indicato; se il numero è dispari di avanza del doppio del numero indicato. Ricavarsi la distribuzione di probabilità della variabile casuale ``numero di caselle delle quali si avanza''.

2. Calcolare previone e incertezza di previsione del numero incerto definito nel problema precedente.

3. Le variabili $X$ e $Y$ possono assumere ciascuna cinque valori. Come distribuzione di probabilità vengono assegnate rispettivamente: $f(x_1) = 0.2$, $f(x_2) = 0.001$, $f(x_3) = 0.399$, $f(x_4) = - 0.1$, $f(x_5) = 0.5$;
   $f(y_1) = 0.2$, $f(y_2) = 0.001$, $f(y_3) = 0.399$, $f(y_4) = 0.1$, $f(y_5) = 0.5$.
   Cos'è che non va in ciascuna delle distribuzioni?

4. Una variabile casuale discreta ha una funzione di ripartizione $F(x)$ discontinua in corrispondenza dei primi 6 interi positivi. In tali punti essa assume valori: 0.10, 0.30, 0.60, 0.90, 0.95, 1.00. Calcolare le seguenti probabilità:
   • $P(X=2)$;
   • $P(X=3.5)$;
   • $P(X < \pi)$;
   • $P(X=1 \cup X=6)$;
   • $P(X < 4)$;
   • $P(X > 1.5)$;
   • $P(\frac{2}{3}\,\pi \le X \le \frac{4}{3}\,\pi)$.

5. Si estrae una carta da un mazzo di 40 carte. Quanto vale la distribuzione di probabilità dei valori delle carte? Calcolare media e deviazione standard della distribuzione.

6. Si lanciano due dadi. Associare alla variabile $X_1$ la somma dei valori che appaiono sulle facce rivolte verso l'alto e alla variabile $X_2$ il modulo della loro differenza. Ricavarsi la distribuzione di probabilità delle due variabili casuali con i rispettivi valori di previsione e incertezza di previsione.

7. ${\bf\circlearrowright\,}$ Uno sperimentatore misura due tensioni di un circuito con un voltmetro digitale in grado di indicare fino al decimo di Volt. Lo sperimentatore sa che la misura non è affetta da errori sistematici, che lo strumento è ben calibrato e che l'indicazione è effettuata arrotondando le cifre successive a quella indicata secondo le regole ``delle calcolatrici tascabili'' (fino a 4 approssima per difetto, dal 5 - compreso - in poi per eccesso). Se lo sperimentatore legge $V_{L_1} = 2.3$ V e $V_{L_2} = 2.1$ V, quanto vale la previsione (con la sua incertezza) della differenza fra i valori veri delle tensioni? (Si costruiscano le distribuzioni delle variabili associate ai valori veri delle grandezze fisiche di interesse, al centesimo di Volt, dato questo stato di informazione).

8. ${\bf\circlearrowright\,}$ Sul problema precedente. Quanto vale la probabilità che, nelle condizioni precedentemente illustrate, nei due punti del circuito la tensione ``vera'' sia la stessa?

9. ${\bf\circlearrowright\,}$ Vengono misurate due temperature con due termometri simili aventi un display digitale al grado. Si sa che quei termometri hanno una probabilità del 70% di indicare la temperature giusta, del 15% di indicare un grado in più e del 15% di indicare un grado in meno. I due termometri danno informazioni indipendenti in quanto non è stato possibile intercalibrarli. I due termometri indicano 85 e 81$^\circ$C, temperature per le quali il giudizio a priori dello sperimentatore è molto più vago dell'informazione fornita dallo strumento. Cosa si può dire sulla differenza di temperatura?

10. Un appassionato di lotto decide di ``inseguire'' un certo numero su una certa ruota. Quanto vale la probabilità che egli riesca a vincere entro, rispettivamente, 10, 18, 30, 50 e 100 estrazioni? Quanto vale la probabilità che il numero esca alla 101-ma estrazione nei casi che si sia verificato o che non si sia non verificato precedenetemente?

11. Una persona gioca sempre le stesse due colonne all'enalotto, sperando che prima o poi possano uscire. Calcolare previsione e incertezza di previsione del numero di volte che dovrà giocare per vincere.

12. pzd100 Si immagini una variabile casuale definita su un intervallo finito, per semplicità $X \in [0,1]$. Mostrare che la distribuzione di massima varianza è quella che concentra la probabilità agli estremi dell'intervallo. Si verifichi, ad esempio, la varianza diminuisce se: a) le probabilità dei due estremi diventano, rispettivamente, $1/2-\epsilon$ e $1/2+\epsilon$; b) due punti molto prossimi agli estremi ($\Delta$ e $1-\Delta$) acquistano una probabilità diversa da zero.

13. Una variabile casuale è definita nell'intervallo compreso fra 100 e 1000. È possibile immaginare una distribuzione di probabilità tale che la deviazione standard valga 500 o più?

14. Si rianalizzi il problema 13 del capitolo 4 alla luce delle distribuzioni di probabilità. Quanto vale la previsione (con la sua incertezza) del tentativo in cui la pistola fa fuoco?

15. In un gioco di società uno dei partecipanti è ``finito in prigione'' e può riprendere il gioco soltanto quando riuscirà ad ottenere il numero 1 con il lancio di un dado. Quanto vale le probabilità che ci riesca entro il terzo colpo?

16. Una persona gioca alla roulette a rosso e nero praticando la strategia di raddoppio descritta nel paragrafo 6.17, cominciando con una puntata iniziale di $10^\cdot000$. Calcolare la probabilità che egli perda oltre 10 milioni la prima serie di giocate (per semplificare i conti si trascuri l'effetto dello zero).

17. Un banco di roulette accetta puntate massime di 100 milioni. Un miliardario comincia a giocare $100^\cdot000$ lire, raddoppiando la puntata dopo ogni perdita. Calcolare previsione e incertezza di previsione di vincita tenendo conto dell'effetto dello zero.

18. Paradosso di San Pietroburgo (baclawski, pag. 174)