Probabilità nulle con diversi gradi di fiducia

Nel caso di variabili continue non ha senso parlare della probabilità di un determinato valore della variabile casuale. Infatti, essendoci, per ogni intervallo arbitrariamente scelto, un numero infinito di punti, la probabilità di ognuno di essi è nulla:

$$P(X=x_i) = 0\,.$$

Ma questo non significa che l'evento $X=x_i$ è impossibile, altrimenti sarebbe impossibile ottenere un risultato qualsiasi. Quindi, come già detto nel paragrafo 2.7, mentre l'evento impossibile implica che la sua probabilità sia nulla, non è vero il contrario.

L'osservazione interessante è che, sebbene tutti i possibili valori di $X$ abbiano probabilità nulla, si può credere che alcuni di essi possano verificarsi più facilmente di altri. Si consideri il seguente esperimento concettuale. Si immagini di lasciar cadere una pallina ``puntiforme'' su un tavolo, da un'altezza di circa un metro. Piccole perturbazioni (vibrazioni della mano, urti con le molecole dell'aria e con il tavolo) fanno sì che il punto sul tavolo in cui la pallina si fermerà non sia univocamente determinato. Consideriamo la proiezione del punto di impatto lungo un arbitrario asse $X$ giacente sul piano del tavolo. Per convenienza, scegliamo l'origine in corrispondenza della proiezione sul piano del tavolo del punto di rilascio e misuriamo la posizione in centimetri (scala naturale dell'esperimento). Ipotizziamo inoltre che la pallina si fermi dove cada, o al più possa fare dei piccoli rimbalzi (``piccoli'' nella scala tipica dell'esperimento). Stanti queste ipotesi, non si può non convenire che

• la probabilità di ognuno dei possibili punti `e uguale a zero (ad esempio $P(X=0.000\ldots)=0$, $P(X=\pi)=0$, $P(X=10^6)=0$);
• ciò nonostante, si può crederà più a valori intorno a $X=0$ che a valori intorno a $X=10$ o a $X=100$; in particolare si escluderanno completamente valori intorno a $X=10^6$.

Anche in questo caso il diverso grado di fiducia verrà quantificato fa una funzione continua (o con al più un numero finito di punti di discontinuità) $f(x)$, che però, a differenza del caso discreto non ha il significato immediato di probabilità. Scrivere, ad esempio,

$$f(x_1) > f(x_2)$$

implica che il grado di fiducia in $X=x_1$ sia maggiore di quello in $X=x_2$. Scrivere invece

$$f(x) = 0$$

sta and indicare che l'evento è impossibile.