Distribuzione uniforme in un triangolo

Se le variabili casuali possono assumere valori, sempre in modo uniforme, all'interno del triangolo $AOCA$ di figura 9.3, la funzione densità di probabilità congiunta è data da

$$f(x,y) =\frac{2}{ab}\hspace{1.0cm} \left\{\begin{array}{c} 0 \le x \le a \\ 0 \le y \le x \end{array}\right.$$ (9.46)

È possibile ottenere le distribuzioni marginali e condizionate senza fare alcun conto:

• $f(x)$ è ottenuta integrando $f(x,y)$ lungo $y$ e quindi è proporzionale all'altezza del triangolo rettangolo $OXC^\prime O$, ove $C^\prime$ indica il punto lungo la diagonale $\overline{OC}$ in corrispondenza di $X$. la distribuzione marginale di $X$ è quindi una triangolare asimmetrica (vedi paragrafo 8.4) avente $x_\circ = a$, $\Delta_+=0$ e $\Delta_-=a$;
• per simmetria $f(y)$ è data da una triangolare avente $x_\circ = 0$, $\Delta_+=b$ e $\Delta_-=0$;
• fissando $X=x$ la distribuzione di $Y$ è una uniforme fra 0 e $y_{max}=(b/a)x$.;
• analogamente, fissando $Y=y$ la distribuzione di $X$ è uniforme fra $x_{min}=(a/b)y$ e $a$.

Come esercizio facciamo i conti:

$$f(x) = \int f(x,y)\, y = \int_0^{\frac{b}{a}x}\frac{2}{a\,b} \, y = \frac{2x}{a^2} \hspace{1.8cm} (0\le x \le a)$$

$$f(y) = \int f(x,y)\, x = \int_{\frac{a}{b}y}^a\frac{2}{a\,b}\, x = \frac{2}{b^2}(b-y) \hspace{.9cm} (0\le y \le b)$$

$$f(x\,\vert\,y) = \frac{f(x,y)}{f(y)} = \frac{1}{a}\,\frac{b}{b-y} \hspace{3.8cm} (\frac{a}{b}y \le x \le a)$$

$$f(y\,\vert\,x) = \frac{f(x,y)}{f(x)} = \frac{a}{b\,x} \hspace{4.5cm} (0 \le y \le \frac{b}{a}x)$$

Si ricordi che le nelle funzioni densità di probabilità condizionate il condizionante ha il ruolo di parametro. A differenza del caso precedente, le funzioni le condizionate e le marginali sono diverse: sapere che $X$ vale 0, $a/2$ o $a$ cambia lo stato di incertezza su $Y$. Ad esempio, la previsione ($\pm$ incertezza standard) vale nei tre casi: $0\pm 0$ (certezza!), $(0.25\pm0.14)a$ e $(0.50 \pm 0.29)a$.