${\bf\circlearrowright\,}$Probabilità e quote di scommessa

Talvolta la credibilità di un evento è espressa dal rapporto delle puntate che si ritiene equo scommettere pro e contro l'evento, ad esempio ``1 a 1'' o ``100 a 1'. Mostriamo ora come sia possibile, dalla conoscenza dei rapporti delle puntate, risalire al valore di probabilità stimato. Chiamiamo $B$ la puntata che si è disposti a scommettere su $\overline{E}$, opposto ad $E$, cioè quello che si verifica se non si verifica $E$ (e viceversa). Chiaramente

$$B = P(\overline{E})\cdot S\,.$$ (2.11)

Sommando membro a membro (2.8) e (2.11) si ha che

$$A+B = \left(P(E) + P(\overline{E})\right)\cdot S\,,$$

ricordandosi che la posta $S$ è data dalla somma delle puntate $A$ e $B$, si ottiene

$$P(E) + P(\overline{E}) = 1\,.$$ (2.12)

Questa è, al pari della (2.10) una condizione che deve valere sempre per qualsiasi evento.

È importante notare che, anche se non è stato implicitamente indicato, la (2.12) è valida solo se le probabilità si riferiscono allo stesso stato di informazione:

$$P(E\,\vert\,I) + P(\overline{E}\,\vert\,I) = 1\,,$$ (2.13)

mentre non è in genere vero per le generiche $P(E\,\vert\,I_1)$ e $P(\overline{E}\,\vert\,I_2)$.

Dal rapporto delle (2.8) e (2.11) segue inoltre che

$$\frac{A}{B} = \frac{P(E)}{P(\overline{E})}\,,$$ (2.14)

da cui

$$P(E) = \frac{A}{A+B}\,.$$ (2.15)

Se ad esempio uno scommettitore valuta un rapporto di puntate equo di ``2 a 1'' vuol dire che egli stima una probabilità di 2/3. Anche se questo modo di esprimersi non è molto familiare in Italia, questi rapporti (``odds'') sono il modo naturale di esprimere la propria fiducia in un evento nei paesi anglosassoni. Anche le previsioni metereologiche sono talvolta accompagnate da stime di attendibilità del tipo ``20 a 1 che domani nevica''.