pzd100 Simulazione di numeri aleatori distribuiti secondo una distribuzione normale

Abbiamo visto nel paragrafo 8.3 alcune tecniche per simulare numeri aleatori. Vediamone un'altra, di semplice implementazione che permette di generare dei numeri secondo una distribuzione normale.

Consideriamo, come al solito in questi casi, la variabile $R$ distribuita uniformemente fra 0 e 1. Consideriamo 12 variabili indipendenti $R_i$ e costruiamo la nuova variabile casuale

$$X = \sum_{i=1}^{12} R_i - 6\,$$

di valore atteso e varianza pari a

$$(X) = 12\, (R_i) -6 = 0$$ (10.59)

$$(X) = 12\, (R_i) = 12\,\frac{1}{12} = 1\,.$$ (10.60)

Quindi, poiché come abbiamo visto, a partire da distribuzioni uniformi simili la convergenza è molto rapida, per il teorema del limite centrale

$$X \sim {\cal N}(0,1)\,.$$

Per ottenere qualsiasi altra distribuzione normale $Y$ di parametri $\mu$ e $\sigma$ è sufficiente effettuare la trasformazione

$$Y = \sigma\,X +\mu\,.$$

Un esempio di istogramma ottenuto con questo metodo è mostrato in figura 10.4 per $\mu=10$ e $\sigma=2$.

Si noti come, ovviamente, la tecnica non riproduce bene il comportamento delle code estreme, ma la si può migliorare aumentando il numero di termini della somma (e modificando opportunamente le formule).