${\bf\circlearrowright\,}$ Linearizzazione

Una conseguenza importante delle proprietà della combinazione lineare e del teorema del limite centrale è la seguente: se si hanno delle variabili $X_1$, $X_2$,...$X_n$ e una variabile $Y$ funzione arbitraria di esse, ovvero

$$Y=Y(X_1, X_2,\ldots,X_n)\,$$

che sia abbastanza lineare nell'intorno del valore atteso di ciascuna delle $X_i$ (ovvero $\mu_i$) ove si addensa il grosso della probabilità (ovvero entro qualche $\sigma_i$ da $\mu_i$) allora, espandendo $Y$ in serie di Taylor otteniamo

$$Y \approx Y(\mu_1, \mu_2, \ldots, \mu_n) + \sum_i\frac{\partial Y}{\partial X_i}(X_i-\mu_i)$$ (10.61)

$$\approx k + \sum_i\frac{\partial Y} {\partial X_i}X_i\,,$$ (10.62)

ove le derivate si intendono calcolate per $X_i=\mu_i$. Il secondo modo di scrivere l'espansione, in cui sono stati inglobati in $k$ tutti i termini non dipendenti da $X_i$, mostra chiaramente che la $Y$ è una combinazione lineare delle $X_i$ con coefficienti pari alle derivate calcolate nella previsione del vettore aleatorio $\{X_1, X_2,\ldots X_n\}$. Si possono applicare quindi a questa combinazione lineare ed ad altre combinazioni lineari costruite sulle $X_i$ tutti i teoremi incontrati in questo capitolo. In particolare, abbiamo:

• la previsione di $Y$ è circa uguale alla funzione $Y$ calcolata sulle previsioni delle $X_i$:

  $$(Y) \approx Y(\mu_1, \mu_2, \ldots, \mu_n)\,,$$ (10.63)

  
  
  come si può valutare rapidamente dalla (10.61) tenendo conto che E$(X_i-\mu_i)=0$;
• la varianza di $Y$ è pari a

  $$\sigma_Y^2 = \frac{\partial Y}{\partial X_i} \frac{\partial Y}{\partial X_j}\sigma_{ij}\,,$$ (10.64)

  
  
  la quale si riduce, in caso di variabili $X_i$ fra loro indipendenti a

  $$\sigma_Y^2 = \left(\frac{\partial Y}{\partial X_i}\right)^2 \sigma^2_i;$$ (10.65)

  
  

• la distribuzione di $Y$ è circa normale in virtù del teorema del limite centrale e se sono valide le condizioni generali;
• nel caso di tante combinazioni lineari $Y_1()$, $Y_2()$, ...$Y_m()$ le covarianze fra le varie $Y_l$ sono date da

  $$(Y_l,Y_m) = \sum_{ij}\frac{\partial Y_l}{\partial X_i} \frac{\partial Y_m}{\partial X_j}\sigma_{ij}\,.$$ (10.66)