${\bf\circlearrowright\,}$ Esempio di applicazione alle incertezze di misure

Facciamo subito un esempio di come sia possibile applicare le proprietà delle combinazioni lineari e della linearizzazione alle incertezze di misure. Anche se non è stato ancora affrontato il discorso dell'inferenza statistica e di come si valutino le incertezze delle misure dirette e le correlazioni introdotte da possibili errori sistematici di entità incerta, supponiamo che siano stati misurati i due lati di un rettangolo e che i risultati siano presentati in termini di previsione e di incertezza di previsione:

$$a = 29.71 \pm 0.03$$

$$b = 21.44 \pm 0.03 \,.$$

Ripetendo quanto detto al momento di introdurre previsione e incertezza e incertezza di previsione: E$(a)=29.71\,$cm rappresenta il valore intorno al quale riteniamo che, ragionevolmente, si trovi $a$; $\sigma(a)=0.03\,$cm indica la dispersione dei valori che possono essere assunti da $a$ intorno ad E$(a)$.

Immaginiamo di essere interessati ora alle seguenti grandezze derivate da $a$ e $b$: perimetro ( $p=2\,a+2\,b$); somma di lati ($s=a+b$); differenza dei lati ($d=a-b$); area del rettangolo ($A=a\,b$). Supponiamo inoltre i due casi: a) le misure di $a$ e $b$ sono assolutamente indipendenti, per cui $\rho(a,b)=0$; b) parziale correlazione, con $\rho(a,b)=0.5$; c) correlazione totale (positiva), con $\rho(a,b)=1$.

Si riconoscono in $p$, $s$ e $d$ correlazioni lineari di $a$ e $b$, mentre il caso dell'area è non lineare e va linearizzato. Riportiamo nel seguito i risultati dettagliati per $s$, $d$ e $A$ nei tre casi di correlazione considerati. Innanzitutto, le previsioni di $s$, $d$ e $A$ non dipendono da $\rho(a,b)$ e valgono

$$(s) = (a)+ (b)$$ (10.67)

$$(d) = (a)- (b)$$ (10.68)

$$(A) \approx (a)\cdot (b)\,.$$ (10.69)

Per quanto riguarda le varianze, ricordando che Cov$(a,b)$ è pari a $\rho(a,b)\,\sigma(a)\,\sigma(b)$, abbiamo

$$\sigma^2(s) = \sigma^2(a)+\sigma^2(b)+2\,\rho(a,b)\,\sigma(a)\,\sigma(b)$$ (10.70)

$$\sigma^2(d) = \sigma^2(a)+\sigma^2(b)-2\,\rho(a,b)\,\sigma(a)\,\sigma(b)$$ (10.71)

$$\sigma^2(A) \approx b^2\sigma^2(a)+a^2\sigma^2(b)+2\,a\,b\, \rho(a,b)\,\sigma(a)\,\sigma(b)\,.$$ (10.72)

Si noti il simbolo ``$\approx$'' al posto di ``$=$'' nel caso di $A$, per ricordare che si tratta di un risultato approssimato basato sulla linearizzazione. I risultati numerici sono:

$$s/ = 51.15\pm0.04 \hspace{0.6cm}[\rho(a,b)=0]$$

$$51.15\pm0.05 \hspace{0.6cm}[\rho(a,b)=0.5]$$

$$51.15\pm0.06 \hspace{0.6cm}[\rho(a,b)=1]$$

$$d/ = 51.15\pm0.04 \hspace{0.6cm}[\rho(a,b)=0]$$

$$51.15\pm0.03 \hspace{0.6cm}[\rho(a,b)=0.5]$$

$$51.15\pm 0 \hspace{1.0cm}[\rho(a,b)=1]$$

$$A/ ^2 = 636.7\pm1.1 \hspace{0.8cm}[\rho(a,b)=0]$$

$$636.7\pm1.3 \hspace{0.8cm}[\rho(a,b)=0.5]$$

$$636.7\pm1.5 \hspace{0.8cm}[\rho(a,b)=1]$$

Troviamo infine i coefficienti di correlazione fra $s$, $d$ e $A$, come applicazione di quanto visto nel paragrafo 10.8. Utilizzando la formula (10.45), svolgendo in dettaglio il primo passaggio, otteniamo

$$(s,d) = (+1)\,(+1)\,\sigma^2(a) + (+1)\,(-1)\,\sigma^2(b) +$$

$$+\left[(+1)\,(-1)+(+1)\,(+1)\right]\, \rho(a,b)\,\sigma(a)\,\sigma(b)$$

$$(s,A) \approx (+1)\,(+b)\,\sigma^2(a) + (+1)\,(+a)\,\sigma^2(b) +$$

$$\left[(+1)\,(+a)+(+1)\,(+b)\right]\, \rho(a,b)\,\sigma(a)\,\sigma(b)$$

$$(d,A) \approx (+1)\,(+b)\,\sigma^2(a) + (-1)\,(+a)\,\sigma^2(b) +$$

$$\left[(+1)\,(+a)+(-1)\,(+b)\right]\, \rho(a,b)\,\sigma(a)\,\sigma(b)\,,$$

ove, di nuovo, ``$\approx$'' sta a ricordare che il risultato è basato sulla linearizzazione. Inserendo i valori e dividendo per le deviazione standard, otteniamo direttamente i coefficienti di correlazione in funzione di $\rho(a,b)$:

$$\rho(s,d) = 0 \hspace{1.5cm}\forall\, \rho(a,b)$$

$$\rho(s,A) = 0.9871 \hspace{0.6cm} \rho(a,b) =0$$

$$= 0.9957 \hspace{0.6cm} \rho(a,b) =0.5$$

$$= 0.9999 \hspace{0.6cm} \rho(a,b) =1.0$$

$$\rho(d,A) = -0.160 \hspace{0.5cm} \rho(a,b) = 0$$

$$= -0.093 \hspace{0.5cm} \rho(a,b) = 0.5$$

$$= 0 \hspace{1.5cm} \rho(a,b) = 1\,.$$

Si noti:

• il coefficiente di correlazione fra $s$ e $d$ è nullo per puro accidente, dovuto all'uguaglianza di $\sigma(a)$ e $\sigma(b)$);
• per calcolare i coefficienti di correlazione per valori molto prossimi ad 1, bisogna utilizzare molte cifre significative nel calcoli, altrimenti si possono ottenere risultati assurdi ($\vert\rho\vert>1$) a causa degli arrotondamenti;
• quando le funzioni diventano complicate non è facile farsi un'idea intuitiva del grado di correlazione e addirittura nemmeno del suo segno.