next up previous contents
Next: Problemi Up: Funzioni di variabili casuali Previous: Moto browniano, ``pallinometro'' ed   Indice

pzd100 Distribuzione di velocità delle molecole di un gas perfetto

Come altro esempio di applicazione della distribuzione normale, ricaviamo la distribuzione di velocità di un gas perfetto, a partire da un moto browniano nello spazio dei momenti. Supponiamo di avere una molecola inizialmente immobile in un recipiente pieno di gas e consideriamo la componente lungo l'asse $ x$ della velocità.

Il risultato è:
$\displaystyle f(v_x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\, \pi\, \overline{v_x^2}}}
\, \exp{\left[-\frac{v_x^2}{2\, \overline{v_x^2}}\right]}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi\, \frac{k\, T}{m}}}
\,\exp{\left[-\frac{v_x^2}{2\, \frac{k\, T}{m}}\right]}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{\frac{m}{2\pi\, k\, T}}
\, \exp{\left[-\frac{m\, v_x^2}{2\, k\, T}\right]}\, .$ (10.81)

$ f(v_x)\,$d$ v_x$ dà la probabilità di trovare la molecola con velocità compresa fra $ v_x$ e $ v_x+$d$ v_x$. Essendo i movimenti della molecola sui tre assi indipendenti l'uno dall'altro otteniamo che la probabilità congiunta è pari al prodotto delle probabilità:


$\displaystyle f(v_x,v_y,v_z)\,$   d$\displaystyle v_x$d$\displaystyle v_y$d$\displaystyle v_z$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f(v_x)\, f(v_y)\, f(v_z)\,$   d$\displaystyle v_x$d$\displaystyle v_y$d$\displaystyle v_x$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \left(\frac{m}{2\pi\, k\, T}\right)^{\frac{3}{2}}
\, \exp{\left[-...
...\, (v_x^2+v_y^2+v_z^2)}
{2\, k\, T}\right]}\,
\mbox{d}v_x\mbox{d}v_y\mbox{d}v_x$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \left(\frac{m}{2\pi\, k\, T}\right)^{\frac{3}{2}}
\, \exp{\left[-\frac{m\, v^2}
{2\, k\, T}\right]}\,\mbox{d}v_x\mbox{d}v_y\mbox{d}v_x$  
       
$\displaystyle f(v)\,$d$\displaystyle v$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 4\pi\, \left(\frac{m}{2\pi\, k\, T}\right)^{\frac{3}{2}}
\, \exp{\left[-\frac{m\, v^2}{2\, k\, T}
\right]}\, v^2\,\mbox{d}v$  
       
$\displaystyle f(v)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 4\pi\, \left(\frac{m}{2\pi\, k\, T}\right)^{\frac{3}{2}}
\, \exp{\left[-\frac{m\, v^2}{2\, k\, T}
\right]}\, v^2$  
    $\displaystyle \left( = 4\pi\, \left(\frac{m}{2\pi\, k\, T}\right)^{\frac{3}{2}}
\, \exp{\left[-\frac{E}{k\, T}\right]}\, v^2\right)\,.$  

Negli ultimi passaggi siamo passati al modulo delle velocità $ v$ attraverso d$ v_x$d$ v_y$d$ v_z=4\pi\, v^2$d$ v$ (passaggio da coordinate cartesiane a coordinate polari). Abbiamo così riottenuto in un modo euristico la distribuzione di Maxwell delle velocità, verificando in tal modo che ciascuna delle componenti della velocità ha una distribuzione di probabilità normale. La Fig.  10.9 mostra le distribuzioni di probabilità del modulo della velocità e di una delle sua componenti per alcune molecole a temperatura ambiente.

Figura: Distribuzione di velocità delle molecole di un gas perfetto
\begin{figure}\vspace{0.7cm}
\centering\epsfig{file=fig/maxw.eps,width=\linewidth,clip=}\end{figure}


next up previous contents
Next: Problemi Up: Funzioni di variabili casuali Previous: Moto browniano, ``pallinometro'' ed   Indice
Giulio D'Agostini 2001-04-02