pzd100 Distribuzione di velocità delle molecole di un gas perfetto

Come altro esempio di applicazione della distribuzione normale, ricaviamo la distribuzione di velocità di un gas perfetto, a partire da un moto browniano nello spazio dei momenti. Supponiamo di avere una molecola inizialmente immobile in un recipiente pieno di gas e consideriamo la componente lungo l'asse $x$ della velocità.

• se supponiamo che ad ogni urto la particella acquisti una certa velocità $\pm \Delta v_x$ possiamo immaginare di ottenere un moto browniano in $v_x$ la cui soluzione sarà, come abbiamo visto, una gaussiana di media nulla e varianza $\sigma_{v_x}^2(t)$;
• $\sigma_{v_x}^2(t)$ non può andare all'infinito. Superata una certa velocità media (in modulo) la probabilità che la molecola perda energia è maggiore di quella che ne acquisti. La condizione di equilibrio termodinamico è che, passato un tempo sufficientemente grande, tutte le molecole sono descritte dalla stessa distribuzione di probabilità delle velocità, e in particolare:
  $$\lim_{t\rightarrow \infty} \sigma_{v_x}^2(t) = \overline{v_x^2},$$
  dove $\overline{v_x^2}$ è la velocità quadratica media che si ottiene dalla teoria cinetica dei gas:
  $$\overline{v_x^2} = \frac{k\, T}{M}.$$

Il risultato è:

$$f(v_x) = \frac{1}{\sqrt{2\, \pi\, \overline{v_x^2}}} \, \exp{\left[-\frac{v_x^2}{2\, \overline{v_x^2}}\right]}$$

$$= \frac{1}{\sqrt{2\pi\, \frac{k\, T}{m}}} \,\exp{\left[-\frac{v_x^2}{2\, \frac{k\, T}{m}}\right]}$$

$$= \sqrt{\frac{m}{2\pi\, k\, T}} \, \exp{\left[-\frac{m\, v_x^2}{2\, k\, T}\right]}\, .$$ (10.81)

$f(v_x)\,$d$v_x$ dà la probabilità di trovare la molecola con velocità compresa fra $v_x$ e $v_x+$d$v_x$. Essendo i movimenti della molecola sui tre assi indipendenti l'uno dall'altro otteniamo che la probabilità congiunta è pari al prodotto delle probabilità:

$$f(v_x,v_y,v_z)\, v_x v_y v_z = f(v_x)\, f(v_y)\, f(v_z)\, v_x v_y v_x$$

$$= \left(\frac{m}{2\pi\, k\, T}\right)^{\frac{3}{2}} \, \exp{\left[-... ...\, (v_x^2+v_y^2+v_z^2)} {2\, k\, T}\right]}\, \mbox{d}v_x\mbox{d}v_y\mbox{d}v_x$$

$$= \left(\frac{m}{2\pi\, k\, T}\right)^{\frac{3}{2}} \, \exp{\left[-\frac{m\, v^2} {2\, k\, T}\right]}\,\mbox{d}v_x\mbox{d}v_y\mbox{d}v_x$$

$$f(v)\, v = 4\pi\, \left(\frac{m}{2\pi\, k\, T}\right)^{\frac{3}{2}} \, \exp{\left[-\frac{m\, v^2}{2\, k\, T} \right]}\, v^2\,\mbox{d}v$$

$$f(v) = 4\pi\, \left(\frac{m}{2\pi\, k\, T}\right)^{\frac{3}{2}} \, \exp{\left[-\frac{m\, v^2}{2\, k\, T} \right]}\, v^2$$

$$\left( = 4\pi\, \left(\frac{m}{2\pi\, k\, T}\right)^{\frac{3}{2}} \, \exp{\left[-\frac{E}{k\, T}\right]}\, v^2\right)\,.$$

Negli ultimi passaggi siamo passati al modulo delle velocità $v$ attraverso d$v_x$d$v_y$d$v_z=4\pi\, v^2$d$v$ (passaggio da coordinate cartesiane a coordinate polari). Abbiamo così riottenuto in un modo euristico la distribuzione di Maxwell delle velocità, verificando in tal modo che ciascuna delle componenti della velocità ha una distribuzione di probabilità normale. La Fig.  10.9 mostra le distribuzioni di probabilità del modulo della velocità e di una delle sua componenti per alcune molecole a temperatura ambiente.

Figura: Distribuzione di velocità delle molecole di un gas perfetto