Inferenza sull'intensità del processo di Poisson da osservazioni effettuate con diversi tempi di osservazione

Nei paragrafi precedenti ci siamo concentrati sull'inferenza di $\lambda$. Il passaggio all'intensità del processo di Poisson $r$ è immediata in quanto $r$ e $\lambda$ sono legati fra di loro linearmente $\lambda = r\,T$, con $T$ tempo di osservazione (non si confonda questo $r$ con l'omologo parametro della Gamma). A volte lo stesso fenomeno modellizzato come un processo di Poisson è osservato con diversi tempi di osservazione, ottenemdo $x_i$ negli intervalli di tempo $T_i$. Avendo visto ancora una volta l'irrilevanza della esatta forma della prior nei di interesse pratico e per evitare confusione con il parametro $r$ della Gamma, usiamo una distribuzione iniziale uniforme. Ottemiamo, a meno dei soliti fattori moltiplicativi:

$$f(r\,\vert\,\mathbf{x},\mathbf{T}) \propto \prod _i (r\,T_i)^{x_i}\cdot e^{-r\,T_i} \propto r^{\sum_i x_i} \cdot e^{-r\,\sum_i T_i}$$ (12.65)

$$r \sim \left(\sum_i x_i+1,\sum_i T_i\right) \,,$$ (12.66)

e quindi

$$(r) = \frac{x_{tot}+1}{T_{tot}} \xrightarrow[x_{tot}>>1]{}\frac{x_{tot}}{T_{tot}}$$ (12.67)

$$\sigma(r) = \frac{\sqrt{x_{tot}+1}}{T_{tot}} \xrightarrow[x_{tot}>>1]{} \frac{1}{\sqrt{T_{tot}}}\sqrt{\mbox{E}(r)}\,.$$ (12.68)