pzd100Uso della prior coniugata Gamma

Come si è già visto dai paragrafi precedenti, la verosimiglianza vista come funzione matematica di $\lambda$ ha la struttura di una distribuzione Gamma. Quindi questa è la prior coniugata della poissoniana. Quindi, a parte i soliti fattori moltiplicativi e considerando il caso generale di $n$ osservazioni, abbiamo:

$$f(\mu\,\vert\,\mathbf{x},f_\circ= ) \propto \lambda^{\sum_i x_i} e^{-n\,\lambda} \cdot \lambda^{c_\circ-1}\,e^{-r_\circ\,\lambda}$$

$$\propto \lambda^{c_\circ+\sum_i x_i-1}\ ,e^{-(r_\circ+n)\,\lambda}$$ (12.59)

$$\lambda \sim \left(c_\circ+\sum_i x_i, r_\circ+n\right) \,.$$ (12.60)

Il caso di prior uniforme viene recuperato quando $c_\circ=1$ e $r_\circ\rightarrow 0$.

Come esempio, vediamo come modellizzare in modo più realistico il caso in cui siano stati osservati 0 conteggi in un esperimento in cui ``se attendevano pochi, non escludendo zero''. Questo si verifica quando si cercano fenomeni rari. Un modo per esprimere questa vaghezza in termini della Gamma può essere di pensare ad un valore atteso di una decina con una incertezza relativa del 100%, per fissare le idee, diciamo E$_\circ(\lambda) = \sigma_\circ(\lambda) = 10$, ovvero $c_\circ=1$ e $r_\circ=1/10$. Il risultato finale su $\lambda$ sarà

$$\lambda \sim (1,1.1) \longrightarrow \propto e^{-1.1\,\lambda}$$ (12.61)

$$(\lambda) = 1/1.1 = 0.91$$ (12.62)

$$(\lambda) = 1/\sqrt{1.1} = 0.95 ***$$ (12.63)

$$\lambda < 2.7\ .$$ (12.64)

Si noti che pur cambiando drasticamente la funzione a priori (una prior uniforme ha valore atteso ``infinito'', nel senso che è la metà del limite superiore, arbitrario) l'effetto sul risultato finale è modesto (valore atteso, incertezza di previsione e limite superiore al 95% cambiano di un 10%, che per questo tipo di ricerca di frontiera è irrilevante, quelli che contano sono gli ordini di grandezza).