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Combinazione di risultati

Come visto più volte nei paragrafi precedenti, la combinazione di risultati si ottiene iterando l'apprendimento bayesiano. Se abbiamo $ n$ osservazioni $ x_i$ in intervalli di tempo di uguale durata (o in regioni spaziali uguali, se il problema è nel dominio dello spazio) e partiamo da una distribuzione di $ \lambda $ uniforme, abbiamo (a parte irrilevanti fattori moltiplicativi):
$\displaystyle f(\mu\,\vert\,\mathbf{x})$ $\displaystyle \propto$ $\displaystyle (\lambda^{x_1} \,e^{-\lambda})\cdot (\lambda^{x_n} \,e^{-\lambda}... ...cdots\, (\lambda^{x_n} \,e^{-\lambda}) = \lambda^{-\sum_ix_i} \,e^{-n\,\lambda}$ (12.53)
$\displaystyle \mu$ $\displaystyle \sim$ Gamma$\displaystyle \left(\sum_i x_i -1, n\right)\,,$ (12.54)

avendo riconosciuto in $ f(\mu)$ una distribuzione Gamma. Otteniamo quindi dalle (8.40)-(8.42)
E$\displaystyle (\lambda)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\sum_i x_i-1}{n}$ (12.55)
$\displaystyle \sigma(\lambda)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\sqrt{\mbox{E}(\lambda)}}{\sqrt{n}}$ (12.56)
Moda$\displaystyle (\lambda)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\sum_i x_i}{n} \,.$ (12.57)

Come al solito, per $ \sum_i x_i\gg 0$ abbiamo una distribuzione gaussiana
$\displaystyle \mu$ $\displaystyle \sim$ $\displaystyle {\cal N}\left( \frac{\sum_i x_i}{n}, \frac{1}{\sqrt{n}}\,\sqrt{\frac{\sum_i x_i}{n}}\right)\,.$ (12.58)

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Giulio D'Agostini 2001-04-02