${\bf\circlearrowright }$Caso generale di inferenza con verosimiglianza poissoniana

Sia ora $\lambda$ il parametro di interesse, avendo osservato $X=x$ conteggi in un intervallo di tempo $T$ (o avendo osservato contato $X=x$ oggetti nel volume $V$, e così via). Il problema può essere anche impostato diversamente, inferendo direttamente l'intensità del processo di Poisson $r$, ovvero il tasso di conteggi, tale che $r\cdot T=\lambda$. Per ragioni didattiche preferiamo provedere un passo alla volta.

La verosimiglianza di osservare $X=x$ per ogni ipotesi $\lambda$ è data dalla distribuzione di Poisson. Applicando il teorema di Bayes, abbiamo:

$$f(\lambda\,\vert\,x,{\cal P}) = \frac{\frac{\lambda^x\,e^{-\lambda}}{x!} \,f_\circ(\lambda)} {\in... ...ty\!\frac{\lambda^x\,e^{-\lambda}}{x!} \,f_\circ(\lambda) \,\rm {d}\lambda}\, .$$ (12.40)

Per $f_\circ(\lambda)$ possiamo usare una distribuzione uniforme fino ad un valore massimo molto più grande di $x$, che per convenienza matematica possiamo estendere fino a infinito. Quindi $f_\circ(\lambda)=k$ a numeratore e denominatore si semplificano e, risolvendo per parti l'integrale di normalizzazione (come per il caso gaussiano, siamo ``fortunati'' e l'integrale vale 1), otteniamo

$$f(\lambda\,\vert\,x,{\cal P}) = \frac{\lambda^x\, e^{-\lambda}}{x!}$$ (12.41)

$$F(\lambda\,\vert\,x,{\cal P}) = 1 - e^{-\lambda}\left(\sum_{n=0}^x \frac{\lambda^n}{n!}\right)\,.$$ (12.42)

Come si vede, questa volta anche la funzione cumulativa è relativamente semplice, ottenuta anch'essa mediante integrazione per parti della funzione densità di probabilità. Alcuni esempi sono mostrati in figura 12.2. Figure 12.2 shows some numerical examples.

Figura: Examples of $f(\lambda\,\vert\,x_i)$.

Si riconosce nella (12.41) una distribuzione Gamma di parametri $c=x+1$ e $r=1$ (vedi paragrafo ). Ne segue che valore atteso, varianza e moda valgono

$$[\lambda] = x+1,$$ (12.43)

$$(\lambda) = x+1,$$ (12.44)

$$(\lambda)\,[\equiv\lambda_m] = x\,.$$ (12.45)