Caso di $x=0$ con prior uniforme

Anche in questo caso, vediamo il caso critico in cui non è stato misurato alcun conteggio, pur non essendoci alcuna ragione per cui si debba osservare esattamente zero e ``si sarebbero potuti attendere anche numeri diversi da zero con buona probabilità'' (questa espressione sarà meglio formalizzata nel seguito, vedi paragrafo ***).

$$f(\lambda\,\vert\,x=0,{\cal P}) = e^{-\lambda}$$ (12.50)

$$F(\lambda\,\vert\,x=0,{\cal P}) = 1-e^{-\lambda}\,.$$ (12.51)

La figura 12.3 mostra $f(\lambda)$. Il valore al quale si crede di più è senz'altro 0, ma la massa di probabilità si estende fino a diverse unità.

Figura: Upper limit to $\lambda$ having observed 0 events.

In questo caso è spesso di interesse dare un limite superiore tale che la probabilità che $\lambda$ ecceda il limite sia ritenuta piccola, per esempio il 10%, il 5% o l'1%. Scegliendo il 5% e risolvendo l'equazione $F(\lambda_\circ\,\vert\,x=0) = 0.95$, otteniamo

$$\lambda < \lambda_\circ=3 \ 95\,\% \,.$$ (12.52)

Si noti come in questo caso vale anche $P(x=0\,\vert\,\lambda=3,{\cal P})=5\%$, ma questa è una pura coincidenza dovuta alle proprietà dell'esponenziale. Affermare che ``la probabilità che $\lambda$ sia maggiore di 3, avendo osservato zero, vale il 5% in quanto la probabilità che una poissoniana di $\lambda=3$ dia zero è del 5%'' è assolutamente scorretto. Questa affermazione è ``innocua'' quando viene applicata al problema in esame (il risultato è giusto per puro caso), ma è gravemente fuorviante quando viene applicata ad altri problemi.