$\sigma _{Y}$ nota e costante

Indichiamo con

$$n : ;$$

$$\sigma : \mbox{deviazione standard delle $Y$} ;$$

$$\overline{x} : ;$$

$$\overline{y} : ;$$

$$\overline{x^2} : ;$$

$$\overline{x\,y} : ;$$

$$(x) = \overline{x^2}-\overline{x}^2;$$

$$(x,y) = \overline{x\,y}-\overline{x}\,\overline{y}.$$

Si noti come la Var$(x)$ non sia legata agli errori delle $X$ (nulli), ma alla distribuzione dei punti sperimentali proiettata sull'asse delle ascisse. Con questo formalismo abbiamo quindi:

$$\widehat{m}\equiv (m) = \frac{\mbox{Cov}(x,y)}{\mbox{Var}(x)}$$ (15.6)

$$\sigma(m) = \frac{1}{\sqrt{Var(X)}}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ (15.7)

$$\widehat{c}\equiv (c) = \overline{y}-\widehat{m}\cdot\overline{x}$$ (15.8)

$$\sigma(c) = \sqrt{\overline{x^2}}\cdot \sigma(m) \left(=\frac{\sqrt{\mbox{Var}(x)+\overline{x}^2}}{\sqrt{\mbox{Var}(x)}} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$ (15.9)

$$\rho(m,c) = -\frac{\overline{x}} {\sqrt{\overline{x^2}} } \left( = \frac{\mbox{segno}(\overline{x})} {\sqrt{1+\frac{\mbox{Var}(x)} {\overline{x}}} }\right).$$ (15.10)

Si noti la dipendenza delle incertezze dalla deviazione standard che descrive la distribuzione degli errori sulle $Y_i$, dal numero di punti sperimentali (il solito $1/\sqrt{n}$), dal braccio di leva dei punti sperimentali (quantificato da $\sqrt{\mbox{Var}(x)}$) e, per quanto riguarda l'intercetta, dalla distanza del baricentro dei punti dall'asse $Y$. Il coefficiente di correlazione è pari a zero quando la coordinata $x$ del baricentro dei punti sperimentali è pari a 0, mentre aumenta in modulo quando i punti sono molto distanti. Il suo segno è uguale a quello della coordinata $X$ del baricentro. Si faccia inoltre a non confondere questo il correlazione fra $m$ e $c$ con quello fra $x$ e $y$, ovvero $\rho(x,y)$.

Si noti, inoltre, come l'equazione 15.8 indica che il baricentro dei punti debba appartenere alla retta ottenuta dal fit. Questo rappresenta un modo rapido per verificare che non ci siano errori di calcolo.