Ricapitolando

• Qualunque sia il modo per valutare la probabilità, questa deve soddisfare le tre regole di base:
  1. $0\le P(E)\le 1$,
  2. $P(\Omega) = 1$ e $P(\emptyset)=0$,
  3. $P(E_1 \cup E_2) = P(E_1)+P(E_2)$ se $E_1 \cap E_2 = \emptyset$,
  ove $\Omega$ indica l'evento certo, $\emptyset$ l'evento impossibile, e gli operatori $\cup$ e $\cap$ indicano rispettivamente la somma logica e il prodotto logico.
• Le regole di base sono anche note come ``assiomi'', secondo l'approccio assiomatico introdotto da Kolmogorov. In questo approccio la probabilità è semplicemente un numero reale che soddisfi gli assiomi, disinteressandosi di come essa vada valutata.
• Dalle regole di base e dalle operazioni logiche fra gli eventi seguono altre proprietà delle probabilità. Fra le più importanti c'è quella della probabilità dell'unione logica nel caso generale:
  $$P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)\,.$$

• L'uguaglianza fra l'algebra degli eventi e l'algebra degli insiemi permette di associare gli uni agli altri e, in particolare, di visualizzare le operazioni logiche mediante i diagrammi di Venn.
• Il concetto dell'evento condizionato di $E$ rispetto ad $H$ è legato alla valutazione della probabilità che verifichino sia $E$ e $H$, ma subordinatamente all'ipotesi che $H$ sia vera: ne segue che $P(E\,\vert\,H)\ge P(E\cap H)$. Più esattamente, $P(E\,\vert\,H)$ e $P(E\cap H)$ sono legate dal teorema delle probabilità composte:
  $$P(E\cap H)=P(H)\cdot P(E\,\vert\,H) = P(E)\cdot P(H\,\vert\,E)\,.$$

• Nell'approccio assiomatico la probabilità condizionata è invece definita dalla probabilità del prodotto logico divisa la probabilità del condizionante. Questo punto di vista non è affatto naturale e provoca solo inconvenienti se preso alla lettera.
• Il concetto di indipendenza stocastica va distinto da quello di indipendenza logica o fisica degli eventi e consiste nel richiedere che il condizionamento non modifichi la valutazione di probabilità, ossia $P(E\,\vert\,H) = P(E)$, da cui:
  $$P(E\cap H)=P(E)\cdot P(H)\,.$$

• Lo schema della figura 4.6 riassume le varie possibilità del calcolo della probabilità di somma e prodotto logico di eventi.

  Figura: Probabilità della somma logica e del prodotto logico di eventi compatibili e non.

  

• Il teorema delle probabilità composte può essere esteso al prodotto logico di $n$ eventi:
  

  $$P(E_1 \cap E_2 \cap \cdots \cap E_n) = P(E_1)\cdot P(E_2\,\vert\,E_1) \cdot P(E_3\,\vert\,E_1\cap E_2) \cdots \,,$$

  
  
  che nel caso di eventi indipendenti si riduce al prodotto delle probabilità:
  

  $$P(E_1 \cap E_2 \cap \cdots \cap E_n) = P(E_1)\cdot P(E_2)\cdot\cdots\cdot P(E_n)\,.$$

  
  

• Una proprietà importante è quella che permette di decomporre un evento in
  $$P(E)=\sum_{i=1}^n P(E\cap H_i)\,,$$
  dove gli $n$ eventi $H_i$ formano una classe completa. Applicando a ciascun termine della decomposizione il teorema delle probabilità composte si ottiene la legge delle alternative (o formula di disintegrazione)
  $$P(E)=\sum_{i=1}^n P(H_i)\cdot P(E\,\vert\,H_i)\,.$$