Confronto fra inferenza diretta e inferenza iterativa

Per seguire meglio come nell'approccio bayesiano la probabilità si riaggiorni dopo ogni dato sperimentale, indichiamo con $P(B\,\vert\,V_{n-1})$ la probabilità assegnata dopo la vincita precedente, e applichiamo ricorsivamente la formula di Bayes. Essendo $P(V\,\vert\,B) = 1$ e $P(V\,\vert\,O) = 1/2$ le probabilità di vincere in un singolo tentativo, otteniamo:

$$P(B\,\vert\,V_n) = \frac{P(V\,\vert\,B)\cdot P(B\,\vert\,V_{n-1})} {P(V\,\vert\,B)\cdot P(B\,\vert\,V_{n-1}) + P(V\,\vert\,O)\cdot P(O\,\vert\,V_{n-1})}$$

$$= \frac{1\cdot P(B\,\vert\,V_{n-1})} {1\cdot P(B\,\vert\,V_{n-1}) + \frac{1}{2} \cdot P(O\,\vert V_{n-1})}\,.$$ (5.21)

Il risultato interessante è che si ottengono esattamente gli stessi valori di probabilità ottenuti direttamente, come già mostrato nell'esempio precedente del rivelatore di particelle e come sarà mostrato più formalmente nel paragrafo 5.9