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$ {\bf\circlearrowright\,}$Osservazioni indipendenti e prodotto delle verosimiglianze

Negli esempi precedenti abbiamo incontrato dei casi di aggiornamento della probabilità ottenuto mediante l'uso iterativo della formula di Bayes. Formalizziamo il risultato, considerando di $ n$ osservazioni indipendenti. Trascurando l'inessenziale fattore di normalizzazione otteniamo:
$\displaystyle P(H_k\,\vert\,E_2\cap E_1)$ $\displaystyle \propto$ $\displaystyle P(E_2\,\vert\,H_k)\cdot P(H_k\,\vert\, E_1)$  
  $\displaystyle \propto$ $\displaystyle P(E_2\,\vert\,H_k) \cdot P(E_1\,\vert\,H_k) \cdot P_\circ(H_k)$  
$\displaystyle P(H_k\,\vert\,E_3\cap E_2\cap E_1)$ $\displaystyle \propto$ $\displaystyle P(E_3\,\vert\,H_k)\cdot P(H_k\,\vert\,E_2\cap E_1)$  
  $\displaystyle \propto$ $\displaystyle P(E_3\,\vert\,H_k)\cdot P(E_2\,\vert\,H_k) \cdot P(E_1\,\vert\,H_k) \cdot P_\circ(H_k)$  
$\displaystyle \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$   $\displaystyle \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$  
$\displaystyle P(H_k\,\vert\,E_1\cap \cdots \cap E_n)$ $\displaystyle \propto$ $\displaystyle \Pi_{i=1}^n P(E_i\,\vert\, H_k) \cdot P_\circ(H_k)$ (5.22)
  $\displaystyle \propto$ $\displaystyle P(E_1\cap \cdots \cap E_n\,\vert\, H_k)\cdot P_\circ(H_k)\,.$ (5.23)

Quindi la probabilità finale dipende dalla probabilità iniziale per la verosimiglianza delle osservazioni sperimentali, indipendentemente dal loro ordine.

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Giulio D'Agostini 2001-04-02