${\bf\circlearrowright\,}$Osservazioni indipendenti e prodotto delle verosimiglianze

Negli esempi precedenti abbiamo incontrato dei casi di aggiornamento della probabilità ottenuto mediante l'uso iterativo della formula di Bayes. Formalizziamo il risultato, considerando di $n$ osservazioni indipendenti. Trascurando l'inessenziale fattore di normalizzazione otteniamo:

$$P(H_k\,\vert\,E_2\cap E_1) \propto P(E_2\,\vert\,H_k)\cdot P(H_k\,\vert\, E_1)$$

$$\propto P(E_2\,\vert\,H_k) \cdot P(E_1\,\vert\,H_k) \cdot P_\circ(H_k)$$

$$P(H_k\,\vert\,E_3\cap E_2\cap E_1) \propto P(E_3\,\vert\,H_k)\cdot P(H_k\,\vert\,E_2\cap E_1)$$

$$\propto P(E_3\,\vert\,H_k)\cdot P(E_2\,\vert\,H_k) \cdot P(E_1\,\vert\,H_k) \cdot P_\circ(H_k)$$

$$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$$

$$P(H_k\,\vert\,E_1\cap \cdots \cap E_n) \propto \Pi_{i=1}^n P(E_i\,\vert\, H_k) \cdot P_\circ(H_k)$$ (5.22)

$$\propto P(E_1\cap \cdots \cap E_n\,\vert\, H_k)\cdot P_\circ(H_k)\,.$$ (5.23)

Quindi la probabilità finale dipende dalla probabilità iniziale per la verosimiglianza delle osservazioni sperimentali, indipendentemente dal loro ordine.