pzd100Fattore di Bayes e incremento logaritmico delle quote di scommessa

Se si parte da una situazione iniziale di incertezza su due ipotesi $H_1$ e $H_2$, l'osservazione di una successione di eventi {$E_1$, $E_2$, $\cdots$, $E_n$} altera le probabilità relative ma non può mai arrivare a conclusione certe fintanto le verosimiglianze $P(E_i\,\vert\,H_j)$ sono diverse da zero. Può accadere invece che gli eventi osservati favoriscano fortemente una delle due ipotesi e quindi che, ad esempio, dopo un certo numero di eventi, $P(H_1\,\vert\,H_1\cup H_2)$ sia molto prossima a 0. Sebbene il valore di zero non sia mai raggiunto è chiaro che 0.1 è ben diverso da 0.001 o da $10^{-9}$. Quando le probabilità sono molto piccole quello che interessa veramente è l'ordine di grandezza e quindi sembrerebbe naturale considerarne il logaritmo. Ma questo non funziona per le probabilità molto prossime a 1. Il rapporto delle probabilità è invece un numero compreso fra 0 e infinito che meglio si presta ad essere trattato con i logaritmi, in quanto $\log{P(H_1)/P(H_2)}$ va da meno infinito a più infinito e vale 0 quando $P(H_1)=P(H_2)$.

Applicando questa idea alla (5.14) si ottiene

$$\log{\frac{P(H_i\,\vert\,E)} {P(H_j\,\vert\,E)}} = \log{\frac{P(H_i)} {P(H_j)}} + \log{\frac{P(E\,\vert\,H_i)} {P(E\,\vert\,H_j)}}\,,$$ (5.24)

Ossia il logaritmo dei rapporti di credibilità di due eventi è modificato da incrementi pari al logaritmo del fattore di Bayes. Se sono stati osservati $n$ eventi indipendenti si ha

$$\log{\frac{P(H_i\,\vert\,E_1\cap \cdots\cap E_n)} {P(H_j\,\vert\,E_1\cap \cdots\cap E_n)} } = \log{\frac{P(H_i)} {P(H_j)} } + \log{\frac{P(E_1\,\vert\,H_i)} {P(E_1\,\vert\,H_j)} }+ \cdots$$

$$+ \cdots + \log{\frac{P(E_n\,\vert\,H_i)} {P(E_n\,\vert\,H_j)} }\,.$$ (5.25)