Misura delle costanti di tempo

Si ricorda che, oltre alle normali assunzioni, schematizzazioni e approssimazioni insite nel metodo del ``minimo $\chi^2$'', l'analisi che segue assume che le incertezze sulle misure delle pressioni in funzione del tempo siano tutte uguali e che l'errore su $P_F$ sia trascurabile rispetto ad essi.

I risultati delle misure vanno riportati in una tabella fatta nel modo seguente ( non dimenticare le unità di misura ):

	(1)			(3)			(7)	(8)	(10)
i	$t_i$	$P_i$	$P_{F_i}$	$\Delta P$	$y_i=\ln{(..)}$	$p_i =(\Delta P)^2$	$P_{th_i}=...$	$e_i = P_i-P_{th_i}$	$s_{y_i}^2$
1
2
3
4
5

In essa i numeri (1), (3), (7), (8) e (10) rappresentano l'ordine di esecuzione delle operazioni, come risulta dalla seguente lista:

1. misure di P(t) ( come da paragrafo precedente );
2. calcolo di $P_F$ come media dei valori letti⁶;
3. calcolo di
   $$\Delta P = P_i - P_F$$
   $$y_i = \ln{\frac{\Delta P}{1\, cm\, Hg}}$$
   e dei pesi relativi da utilizzare nel fit:
   $$p_i = (\Delta P)^2;$$

4. grafico in carta semilogaritmica di $\Delta P$ in funzione di $t$; ( meglio se era stato effettuato ``a volo'' immediatamente dopo ogni misura);
5. Calcolo dei valori medi: $\overline{t}$, $\overline{t^2}$, $\overline{ty}$, $\overline{y}$ e $\overline{y^2}$ mediante le sommatorie $\sum_it_ip_i$, $\sum_it_i^2p_i$, $\sum_it_iy_ip_i$, $\sum_iy_ip_i$, $\sum_iy_i^2p_i$ e $\sum_ip_i$ ( non confondere $p_i$ con $P_i$!);
6. Calcolo di $Var(t)$, $Cov(t,y)$, $\rho(t,y)$, $\widehat{m}$, $\widehat{c}$, $\tau = -1/\widehat{m}$, $\widehat{\Delta P_\circ}$ e $\rho(\widehat{m},\widehat{c})$;
   prima di proseguire alla cieca accertarsi che i valori di $\tau$ e di $\widehat{\Delta P_\circ}$ siano ragionevoli;
7. calcolo di $P_{th_i} = P_F + \widehat{\Delta P_\circ}e^{-t_i/\tau}$
8. calcolo dei residui ( scarti fra valori osservati e retta del fit ):
   $$e_i = P_i - P_{th_i};$$

9. calcolo della somma dei quadrati dei residui:
   $$S_q = \sum_i e_i^2$$
   e stima della varianza delle misure di pressione
   $$\sigma_P^2 = \frac{S_q}{n-2}.$$
   A questo punto si possono riportare le barre di incertezza sul grafico del punto 4.;
10. calcolo delle deviazioni standard su $y_i$:
    $$\sigma_{y_i} = \frac{\sigma_P}{\vert\Delta P\vert};$$

11. calcolo della deviazione standard della media da utilizzare nelle formule delle varianze e della covarianza:
    $$\frac{1}{\sum_i 1/\sigma_{y_i}^2}.$$
    ( questo valore va sostituito alla combinazione $\sigma^2/n$ nelle formule (13-15));
12. Calcolo di $Var(\widehat{m})$, $Var(\widehat{c})$ e $Cov(\widehat{m},\widehat{c})$;

13. Calcolo delle incertezze standard su $\tau$ e $\widehat{\Delta P_\circ}$;

14. risultato della misura:
    

    $$\tau = (\ldots\, \pm\, \ldots) \ldots$$

    $$\widehat{\Delta P_\circ} = (\ldots\, \pm\, \ldots) \ldots$$

    
    

Ripetere il procedimento per ognuno dei tre recipienti.