Formalismo sulle variabili casuali: ``$f(x)$'', E$(X)$ e $\sigma$

Prima di procedere alle applicazioni, ricordiamo brevemente la terminologia sulle variabili casuali (nel linguaggio della probabilità soggettiva).

• Una variabile casuale, o numero aleatorio, è qualsiasi numero rispetto al quale si è in stato di incertezza. Facciamo due esempi nel contesto delle misure:
  1. Pongo un chilogrammo campione su una bilancia di laboratorio con indicazione (digitale) dei centesimi. Che valore leggerò (in grammi)? 1000.00, 999.95, 1000.03 ...?
  2. Leggo su una bilancia di laboratorio 2.315 g. Quanto vale il valore vero della massa del corpo? 2.311, 2.312, ...2.315, ...2.319, ...?
  Nel primo caso la variabile è la lettura $x$ (subordinatamente ad un certo valore vero); nel secondo caso la variabile è il valore vero $\mu$ (subordina-tamente ad un certo valore letto).
• Ai possibili valori della grandezza viene associata una funzione $f(x)$ che quantifica il grado di fiducia ad essi assegnato. Quindi scrivere che $f(x_1)>f(x_2)$ sta ad indicare che si crede più a $x_1$ che a $x_2$. A seconda che la variabile $x$ sia discreta o continua, $f(x)$ ha l'accezione di funzione di probabilità o di funzione densità di probabilità.
• Tutte le proprietà di $f(x)$ apprese nei corsi convenzionali rimangono valide nell'approccio soggettivista. In particolare si ricorda che il valore atteso, indicato con E$(X)$ e calcolato come media dei possibili valori di $x$ pesati con $f(x)$, dà il baricentro della distribuzione; la deviazione standard, indicata con $\sigma$ e calcolata come radice quadrata del momento di inerzia della distribuzione (leggi varianza: ``media dei quadrati degli scarti''), fornisce la dispersione di valori che è possibile attendersi dalla variabile.
• Tutte le distribuzioni di variabile casuale sono subordinate ad un certo stato di informazione. Utilizzando i due esempi precedenti possiamo perciò scrivere
  

  $$f(x) \longrightarrow f(x\,\vert\,\mu=1000.00)$$

  $$f(\mu) \longrightarrow f(\mu\,\vert\,x=2.315)\,,$$

  
  
  ove ``$\vert$'' si legge ``dato'', ``subordinatamente a'', etc.
• L'intero stato di incertezza sui valori della grandezza di interesse è espresso da $f(\mu)$. Da questa funzione è possibile calcolare la probabilità che la grandezza abbia un valore compreso in un certo intervallo. Per semplicità, spesso si riassume lo stato di informazione di $f(\cdot)$ in due soli numeri: E$(\cdot)$ e $\sigma$. E' interessante l'interpretazione conoscitiva di queste due grandezze. Esse possono essere viste come la previsione e l'incertezza di previsione del numero aleatorio.
• Fra le distribuzioni di probabilità, quella più importante per la trattazione delle incertezze di misura è indubbiamente la ben nota gaussiana, che assumiamo nota. Altre distribuzioni interessanti per le applicazioni sono la distribuzione uniforme e la distribuzione triangolare. Anche la distribuzione uniforme è generalmente ben conosciuta. Ricordiamo soltanto che essa ha una deviazione standard pari alla sua larghezza divisa $\sqrt{12}$. Utilizzando la semilarghezza $\Delta$, si ha:
  $$\sigma($$distr. uniforme$$) = \frac{2\,\Delta}{\sqrt{12}}= \frac{\Delta}{\sqrt{3}}\,.$$
  Essendo la distribuzione triangolare meno nota, essa è descritta in Appendice C). Nel caso ``isoscele'' (triangolare simmetrica) di semiampiezza $\Delta$ la deviazione standard vale
  $$\sigma($$triangolare$$) =\frac{\Delta}{\sqrt{6}}\,.$$