Verosimiglianza

Cominciamo con la distribuzione di probabilità dei valori osservabili, indicati con $x$. Come detto,

$$f(x\,\vert\,\mu)$$

sta per la funzione densità di probabilità ($x$ è una variabile continua, dal punto di vista pratico) di osservare²³ un certo valore $x$, dato un determinato valore vero $\mu$. Tutti i possibili valori di $\mu$ possono essere visti come le infinite cause responsabili del valore $x$ osservato (il loro effetto). La figura 7 dovrebbe aiutare ad illustrare il problema.

Figura 7: Relazioni cause-effetti viste in termini di condizionanti e eventi condizionati

La funzione $f(x\,\vert\,\mu)$ ci dà la verosimiglianza che $\mu$ possa causare $x$ e per questo è chiamata semplicemente verosimiglianza. Essa va stimata dalla conoscenza del comportamento dello strumento e, più in generale, dell'insieme di tutte le procedure di misura. Molto spesso si utilizza per la verosimiglianza un modello gaussiano, giustificato un po' dall'esperienza e soprattutto dalle aspettative teoriche, basate sul teorema del limite centrale. Consideriamo, quindi nel seguito, per semplicità, una verosimiglianza del tipo

$$f(x\,\vert\,\mu) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp{\left[-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right]}$$ (15)

con $\sigma$ che non dipende dal valore di $\mu$ (stiamo assumendo che lo strumento risponda nello stesso modo a tutti i possibili valori di $\mu$).