Effetto degli errori sistematici

La storia in principio non è ancora finita. Cosa abbiamo dimenticato? In questi casi bisogna ripassarsi rapidamente i primi 9 punti del ``decalogo'' del paragrafo 4 (il punto 10 è l'unico di cui abbiamo tenuto conto, al meglio di quello che si poteva fare).

Consideriamo soltanto l'effetto di errori di calibrazione dello strumento. Vediamo quali sono i possibili contributi all'incertezza. Per comodità ci riferiamo alla figura 9.

Errori sistematici dipendenti dal valore della grandezza

Si tratta del caso d) di figura 9. Di questo si è già tenuto conto, implicitamente, quando è stata valutata $\sigma _r$ dai residui. Infatti ogni piccola incertezza di taratura nell'intervallo di scala utilizzato influenza $\sigma _r$, così pure ogni piccola differenza fra le masse dei diversi dischi.

Errore di zero

• L'errore di zero, sia esso sulle ascisse che sulle ordinate, non ha nessuna influenza sul coefficiente angolare, in quanto esso è valutato come rapporto di diferenze:
  $$\left.\sigma(m)\right\vert _{z_x} = \left.\sigma(m)\right\vert _{z_x} =0\,.$$

• Un errore di zero sulle ordinate ( $\sigma_{z_y}$) si riflette direttamente sul valore dell'intercetta, in quanto tutti i punti potrebbero essere traslati coerentemente verso l'alto o verso il basso. Quindi il contributo a $\sigma(c)$ è
  $$\left.\sigma(c)\right\vert _{z_y} = \sigma_{z_y}\,.$$

• Un errore di zero sulle ascisse ( $\sigma_{z_x}$) causerebbe una traslazione orizzontale di tutti i punti. Quindi esso si riflette sull'intercetta attraverso la pendenza della retta. Ne segue che il contributo a $\sigma(c)$ è (trascurando l'effetto di ordine superiore dovuto all'incertezza sulla pendenza stessa):
  $$\left.\sigma(c)\right\vert _{z_x} = \vert m\vert\sigma_{z_x}\,.$$

Se entrambi i contributi sono presenti, essi vanno considerati in quadratura.

Errore di scala

Per capire il comportamento degli errori di scala, sia sulle ascisse che sulle ordinate, consideriamo due punti sulla retta $P_1=(x_1,y_1)$ e $P_2=(x_2,y_2)$, in corrispondenza del primo e dell'ultimo punto sperimentale. Da questi punti è possibile ricavarsi $m$ e $c$:

$$m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\,,$$ (43)

$$c = y_1-\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}x_1\,.$$ (44)

Consideriamo ora i fattori di scala $f_x$ e $f_y$ che, come al solito, riteniamo essere

$$f_x = 1 \pm \sigma_{f_x}$$

$$f_y = 1 \pm \sigma_{f_y}\,.$$

e inseriamoli esplicitamente nelle espressioni di $m$ e di $c$:

$$m = \frac{f_y(y_2-y_1)}{f_x(x_2-x_1)}$$

$$c = f_yy_1-\frac{f_y(y_2-y_1)}{f_x(x_2-x_1)}f_xx_1 = f_y\left(y_1-\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}x_1 \right)\,.$$

Ne concludiamo quindi che

• Il coefficiente angolare risente allo stesso modo dei due fattori di scala:
  

  $$\left.\sigma(m)\right\vert _{f_x} = \vert m\vert\,\sigma_{f_x}$$ (45)

  $$\left.\sigma(m)\right\vert _{f_y} = \vert m\vert\,\sigma_{f_y}$$ (46)

  
  

• L'errore di scala sulle ascisse è ininfluente sull'intercetta, mentre quello sulle ordinate vi si riflette proporzionalmente:
  

  $$\left.\sigma(c)\right\vert _{f_x} =$$ 0 (47)

  $$\left.\sigma(c)\right\vert _{f_y} = \vert c\vert\,\sigma_{f_y}$$ (48)

  
  

Come al solito, i vari contributi si combinano quadraticamente.

Deviazione dalla linearità

Eventuali deviazioni dalla linearità degli strumenti si riflettono su una deviazione dalla linearità dell'andamento. Non è possibile dare delle regolette ad hoc. Qualora si notino tali effetti nei punti sperimentali, bisogna cercare di capire se l'effetto è da attribuire a uno dei due strumenti (o a entrambi), oppure è la legge fisica ad essere inadeguata, o si tratta soltanto di una fluttuazione. Si cerca quindi di sostituire o ricalibrare gli strumenti, di apportare correzioni fenomenologicamente giustificate ai dati sperimentali, oppure si utilizza semplicemente la zona nella quale ci sono dei buoni motivi per presupporre che l'andamento sia quello ipotizzato. Un caso macroscopico è quello del grafico dell'allungamento in funzione della massa di figura 10: la molla non si allunga affatto al di sotto di una massa critica ( $\approx 200$g) e quindi i primi tre punti non vanno considerati nell'analisi.

La valutazione di effetti sistematici rimane invariata se i parametri della retta sono valutati con i minimi quadrati anziché con l'analisi grafica.