Errore ed incertezza di misura (commento all'esperienza di interpolazione fra le tacche)

L'esperienza appena descritta illustra molto bene i concetti di errore e di incertezza di misura, già introdotti a livello intuitivo e sui quali si tornerà in termini più formali nel seguito.

La differenza fra i valori stimati e quelli letti al nonio rappresenta l'errore di stima che si commette di volta in volta, in quanto il valore letto al nonio è in buona approssimazione ``quello vero''. Dalla conoscenza di questi errori tipici (da meglio definire) si può risalire all'incertezza della misura derivante dalla sola stima. Consideriamo alcuni casi particolarmente istruttivi.

1. Supponiamo di sapere che l'ipotetica persona A (nessuna di quelle della tabella 4) si sbaglia ``in media'' di 0.02cm sia in più che in meno. Se in una misura succesiva effettuata in condizioni analoghe lui stimerà 23.54cm, quanto si crederà a questa affermazione? Ragionevolmente si tenderà a credergli ``entro 0.02cm''.
2. Immaginiamo invece che l'altrettanto ipotetica persona B tenda in media a sovrastimare le lunghezze di 0.02 cm e che la dispersione degli errori intorno a questo errore sistematico medio sia soltanto di 0.01 cm. Se costui stimerà 15.67 cm chiaramente si tenderà a credere che il valore vero sia ``entro 0.01 cm'' intorno a 15.65 cm, avendo corretto la sua stima per l'errore medio.
3. Supponiamo che sei persone che si comportino come A stimino 18.33, 18.36, 18.34, 18.31, 18.34, 18.37 cm. Chiaramente, non essendoci nessun motivo per ritenere qualcuna di queste stime più o meno giusta delle altre si tenderà a pensare che ``in medio stat virtus''. E fin qui va bene. Però se si prova a stimare l'ampiezza dell'intervallo entro cui si può credere che il valore vero sia compreso, l'intuizione potrebbe dare una risposta (``entro 0.03 cm'') ben lontana da quella corretta (``entro 0.008 cm''). Per arrivare a queste conclusioni bisognerà prima aver imparato che le stime medie effettuate indipendentemente da 6 persone equivalenti sbagliano mediamente di un fattore $1/\sqrt{6}$ in meno della stima di ciascuna delle persona.
4. Supponiamo di porci nelle condizioni 1., ma di sapere che lo strumento usato non è calibrato perfettamente, ma che può essere scalibrato mediamente dello 0.5%, in più o in meno. Ciò significa che, anche se la lettura fosse perfetta, si crederà al risultato entro 0.12 cm. Quindi l'incertezza dovuta all'errore di lettura di 0.02 mm diventa trascurabile. E' anche chiaro che non ha nessun senso fare medie fra più letture o sforzarsi di leggere al meglio quando si è coscienti di una incertezza ``inevitabile'' di questo tipo⁴⁸. Se questa incertezza è intollerabile per le misure che si vogliono fare bisogna ricalibrare lo strumento o procurarsene un altro migliore.