Distribuzione della media aritmetica

Una delle consequenze del teorema del limite centrale più importanti per le applicazioni di laboratorio è la distribuzione di probabilità della media aritmetica. Se si hanno $n$ variabili casuali indipendenti $X_i$ descritte dalla stessa distribuzione avente valore atteso $\mu$ e deviazione standard $\sigma$, la media aritmetica $\overline{X}_n$, con $n$ ``sufficientemente grande'', segue una distribuzione normale di media $\mu$ e deviazione standard $\sigma/\sqrt{n}$:

$$\overline{X}_n \xrightarrow[n\rightarrow\infty]{} \, \sim {\cal N}(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}})\,.$$

Come esempio, possiamo fare delle previsioni relative al processo di Poisson che abbiamo analizzato a lungo, di intensità $r=0.178\,$conteggi/s. Considerando le medie su 100 misure di conteggi di durata 3, 6, 12, 30 e 100 s, abbiamo:

$$\overline{X}_{100}(T) = r\,T \pm \frac{r\,T}{\sqrt{100}}\,,$$

ovvero:

$$T= 3\, : \overline{X} = 0.53\pm 0.07$$

$$T= 6\, : \overline{X} = 1.07\pm 0.10$$

$$T= 12\, : \overline{X} = 2.14\pm 0.15$$

$$T= 30\, : \overline{X} = 5.34\pm 0.23$$

$$T= 100\, : \overline{X} = 17.80\pm 0.42\,.$$

Per un confronto con un esperimento simulato si veda la tabella 5.4. Consideriamo inoltre le medie dei tempi di attesa per osservare 1, 2, 5, 10, 20, 50 e 100 eventi:

$$\overline{T}_{n}(k) = \frac{k}{r} \pm \frac{\sqrt{k}}{r\,\sqrt{n}}\,,$$

ove facciamo il caso di $n=100$ per $k=1$ e $n=50$ per le altre misure. Otteniamo quindi:

$$k=1, n=100 : \overline{T} = 5.6\pm 0.6 \,$$

$$k=2, n=50 : \overline{T} = 11.2\pm 1.1 \,$$

$$k=5, n=50 : \overline{T} = 28.1\pm 1.8 \,$$

$$k=10, n=50 : \overline{T} = 56.2\pm 2.5 \,$$

$$k=20, n=50 : \overline{T} = 112.4\pm 3.6 \,$$

$$k=50, n=50 : \overline{T} = 281\pm 6 \,$$

$$k=100, n=50 : \overline{T} = 562\pm 8 \,$$

Si lascia come esercizio il confronto con i risultati simulati di tabella 1.2. Qualcuno avrà notato come le medie dei tempi di attesa di tabella 5.4 sono in ``spettacolare'' accordo con le previsioni. In effetti esse non erano state effettuate su 100 o 50 misure bensì su 10000 (vedi figura 4.3). Infatti in questo caso le previsioni sarebbero state:

$$k=1, n=10000 : \overline{T} = 5.62\pm 0.06 \,$$

$$k=2, n=10000 : \overline{T} = 11.24\pm 0.08 \,$$

$$k=5, n=10000 : \overline{T} = 28.09\pm 0.12 \,$$

$$k=10, n=10000 : \overline{T} = 56.18\pm 0.18 \,$$

$$k=20, n=10000 : \overline{T} = 112.36\pm 0.25 \,$$

$$k=50, n=10000 : \overline{T} = 280.90\pm 0.40 \,$$

$$k=100, n=10000 : \overline{T} = 561.8\pm 0.6 \, \,.$$

Questo spiega la ``quasi perfetta'' corrispondenza fra previsioni e risultati dei tempi di attesa di tabella 5.4, che sarebbero stati invece ``sospetti'' nel caso di 50 o 100 misure.