Numero di teste meno numero di croci

La figura 4.8 mostra la distribuzione del numero di palline che cadono nel bin centrale del pallinometro a due file di chiodi in funzione del numero di palline lanciate (figura 1.3 e dati di tabella 1.3). Essendo la variabile ``diff'' del plot, che nel seguito chiameremo $D$,

$$D = \char93 \,bin1 - (\char93 \,bin0+\char93 \,bin2)$$

essa è analoga della variabile casuale associata alla differenza fra numero di teste e numero di croci nel lancio di $n$ monete. Poiché $\char93 \,bin1 + (\char93 \,bin0+\char93 \,bin2) = n$, possiamo riscrivere la variabile $D$ come

$$D = 2\, \char93 \,bin1 - n\,,$$

avente

$$(D) = 2\,\frac{1}{2}\,n -n=0$$

$$\sigma(D) = 2\,\sqrt{\frac{n}{4}} = \sqrt{n}\,.$$

A parte un cambiamento di scala la distribuzione di $D$ è equivalente a quella del moto casuale. Per $n$ molto grande $D$ tende ad una distribuzione normale con una varianza che cresce linearmente con il numero di lanci che saranno effettuati. Non è quindi corretto dire che ``al crescere di $n$ il numero di teste tende al numero di croci''. Anche se è vero che la previsione della differenza è uguale a zero, la probabilità di $D=0$ diminuisce come $1/\sqrt{n}$. Infatti, applicando l'approssimazione normale abbiamo:

$$P(D=0) \approx \int_{-\frac{1}{2}}^{+\frac{1}{2}} f(x\,\vert\,{\cal N}(0,\sqrt{n})\,dx \approx \frac{1}{\sqrt{2\,\pi}\sqrt{n}}\,.$$