Lezioni di Laboratorio di Elettromagnetismo e Circuiti (AA 10/11)
(G. D'Agostini)

Dettaglio degli argomenti trattati a lezione

Lezione 1 (16/3/11)

• Introduzione al corso.
• Le cinque fantasie fatali (da evitare!).
• Qualche ripasso consigliato:
  • Logbook (versione pdf: Le basi del metodo sperimentale: vedi qui).
  • Cifre significative (con esercizi).
  • Carte logaritmiche (in particolare carta semilog).
    Esercizio proposto:
    • simulare un andamenti del tipo x(t)=x₀e^-t/τ e x(t)=x₀(1-e^-t/τ), tabularne i valori (circa 20 punti da 0 a 6τ), riportare su carta semilog e ricavarsi il valore di τ.
• Richiami di forze gravitazionali e analogie con forze elettriche: forza, campo, energia potenziale, potenziale, lavoro. Lettura di grafici di potenziale e di energia potenziale;
• Esempio dell'impianto di risalita come analogo di un circuito con forza elettromotrice ('il motore') e resistenza ('attrito'):
  • lavoro compiuto dal campo gravitazionale e dal motore;
  • potenza necessaria per mantenere un 'flusso di massa': P = (dm/dt) × (hg) = Φ_M × V_G
• Peculiarità delle forze elettriche:
  • cariche di segno opposto;
  • generatori di tensione: mantengono una differenza di potenziale costante fra i loro capi;
  • conduttori e superfici equipotenziali: permettono di 'trasportare' le differenze di potenziale;
  • scorrimento di cariche -> corrente elettrica;
  • strumenti per misurare differenze di potenziale (voltmetri).
• Circuito elementare:
  • Legge di Ohm (attenti al segno): I_A->B = (V_A - V_B) / R.
  • Unità di misura di Q, I, V e R.
  • Bilancio energetico:
    • Potenza erogata dalla forza elettromotrice: IΔV → I×f;
    • Potenza dissipata da un resistore IΔV → “effetto Joule”.
  • Resistenza di un conduttore cilindrico: proporzionale a lunghezza e inversamente proporzionale alla sezione; coefficiente di proporzionalità dipende dal materiale (resistività):
    → da cui segue che resistenze in serie si sommano!
  • Esercizi:
    • Batteria (f = 12V) con stufetta (“resistore” di resistenza R) che dissipa 1000W nel caso di cavi ideali:
      • valutare R e la corrente erogata dalla batteria;
      • tener conto della resistenza dei cavi, assumendo che ciascuno sia lungo 2m e abbia un diametro di 2mm e che la resistività del rame sia di 2×10^-8 Ωm; in particolare, calcolare
        • corrente e potenza erogata dalla batteria (prima di fare i conti, provare a rispondere: la potenza sarà maggiore o minore di quella precedente?);
        • potenza dissipata dai cavi e dalla stufetta;
        • tensione ai capi (di R) della stufetta.
    • Sull'etichetta di una batteria per auto si leggono le seguenti caratteristiche: 12V, 450A e 60Ah. Che informazioni ci danno? In particolare, assumendo di farla lavorare in un modo efficiente (trascurando energia dissipata internamente e altre perdite di energia): quanta acqua ci si potrebbe scaldare da 20 a 30 gradi, scaricando completamente la batteria?
  (Per ulteriori dettagli ed esercizi, vedi testo preferito).

 

Lezione 2 (23/3/11)

• Soluzioni esercizi su batterie.
• Ancora su legge di Ohm e applicazioni.
• Circuito elettrico, maglie e nodi.
• Esempio di circuito con generatore (f=12V) con in serie R₁ (10Ω) e parallelo di R₂ e R₃ (50 e 15 Ω rispettivamente).
  Nota:
  • resistenze in serie: in ciascuna di esse circola la stessa corrente;
  • resistenze in parallelo: ai capi dei esse c'è la stessa differenza di potenziale.
• Regole generali (leggi/principi di Kirchhoff) per 'risolvere' i circuiti:
  • Ad ogni nodo: Σ_i I_i = 0, con versi positivi per correnti entranti (e analogia idraulica);
  • Per ogni maglia: Σ_i ΔV_i = 0 (e analogia gravitazionale).
• Applicazione al circuito di esempio.
• Regoletta pratica per la legge delle maglie (ma è preferibile ricordare quella generale): Σ_i f_i = Σ_k R_kI_k, con f_i e I_k positive se sono nel" verso di percorrenza" della maglia (ovvero quello con cui si fa l'"inventario delle differenze di potenziale", che non ha niente a che vedere con i versi delle correnti!).
  • Applicazione a circuito con due generatori (2.1 e 1.9 V) e tre resistori (45,10, e 10 Ω), vedere/chiedere appunti, da qui in poi indicato come esempio guida ('master example).
• Bilancio energetico di circuito elementare costituito da generatore e resistenza (ed analogia gravitazionale/idraulica):
  • lavoro compiuto dal campo elettrico e e dalla forza elettromotrice;
  • potenza necessaria per mantenere il circuito in funzione;
  • potenza fornita dalla forza elettromotrice e potenza dissipata dalla resistenza: Effetto Joule: P = I ΔV.
  • Essendo questa relazione valida ai capi di ogni resistore, dalla legge di Ohm otteniamo
    P = I ΔV = ΔV²/R = R I².
• Partitore di tensione e partitore di corrente:
  • Resistori in serie di cui si conosce la tensione ΔV_s ai loro capi:
    • ΔV_i = ΔV_s V_i/(Σ_i R_i), proporzionale a R_i: cadute di tensione proporzionale ai valori delle resistenza:
    • resistenza equivalente della serie: R_s = Σ_i R_i (si sommano, quindi R_s > R_i);
    • giustificazione dei fili di collegamento come, approssimativamente, equipotenziali.
  • Resistori in parallelo di cui si conosce la corrente totale che fluisce attraverso di essi (I₀ = I_p):
    • I = I₀ (R_p/R_i), inversamente proporzionale a resistenza i-ma (dimostrazione lasciata come semplice esercizio);
    • resistenza equivalente del parallelo: R_p^-1 = Σ_i R_i^-1 (si sommano i reciproci, quindi R_p < R_i).
• Esercizi per casa:
  • Risolvere esercizio con un generatore e tre resistenze (serie+parallelo, vedi sopra), sia risolvendo le equazioni generali che `riducendo' il circuito.
  • Risolvere l'esempio guida e, più in particolare:
    • calcolare le correnti I_i, I₂ e I₃ che scorrono nei resistori;
    • cosa succede se si pongono a zero, alternativamente, le tensioni a capi dei due generatori? Valutare le nuove correnti e confrontare con quelle prodotta dai due generatori entrambi 'accesi';
    • calcolare la potenza erogata da ciascun generatore e la potenza dissipata da ciascuna resistenza;
    • Ponendo a zero (convenzionalmente) la tensione del nodo fra le tre resistenze (V_C = 0, secondo lo schema disegnato a lezione), valutare il potenziale negli altri punti del circuito;
    • immaginiamo di bypassare R₂ mediante un filo perfettamente conduttore: quanto vale la corrente che passera' in esso? (È conveniente risolvere il circuito considerando la corrente prodotta individualmente da ciascun generatore ed usare equivalenti serie/parallelo).
      [Anche se il senso di quest'esercizio può sfuggire, la soluzione sarà di un certo interesse nel seguito.]

 

Lezione 3 (30/3/11)

• Esercizio di riscaldamento sui partitori di tensione.
• Soluzioni numeriche dei problemi delle scorse lezioni:
  • Stufetta:
    • nel caso di cavi ideali circola una corrente di 83.3A e la resistenza vale R = 0.144Ω;
    • i cavi reali hanno una resistenza di 0.011Ω ciascuno, quindi la tensione sulla resistenza della stufetta sarà 10.4V (partitore), la corrente 72.4A, potenza della stufetta 753W e potenza dissipata dai cavi 114W (si scaldano!);
    • importanza del dimensionamento dei cavi per:
      • evitare surriscaldamenti;
      • evitare cadute di tensioni (alcuni dispositivi possono funzionare "di meno", altri non funzionano affatto se la tensione è minore di una certa soglia): caso dei cavi per far partire auto con batteria scarica.
  • Circuito con generatore da 12V e tre resistori:
    • si suppone che sia stato risolto anche usando le leggi di maglie e nodi;
    • Soluzione mediante riduzione a circuiti equivalenti: R_2,3 = 11.54Ω, R_t = 21.54Ω, I_G = I₁ = 557mA, V₁ = 5.57V, V_2,3 = 6.43V, I₂ = 129mA,I₃ = 429mA, P_G = 6.69W, P₁ = 3.10W, P_2,3 = 3.58W, P₂ = 0.83W, P₃ = 2.76W.
  • Circuito con due generatori e tre resistori (“master example”):
    • correnti (con i versi usati a lezione):

      correnti		f2=0	f1=0
      I1 (mA)	40	21	19
      I2 (mA)	-30	-115.5	85.5
      I3 (mA)	10	-94.5	104.5

      → “principio di sovrapposizione”.
    • → completare (si dà ancora tempo per rispondere alle altre domande).
• Misure di tensione, corrente (strumento in serie!) e resistenza (att. ad altre resistenze in parallelo o ad eventuali generatori!).
• Principio di funzionamento e uso del multimetro analogico ICE:
  • foto e scheda del prodotto (più dettagli: sito ICE; manuale (pdf));
  • Schema per amperometro e voltmetro a pag. 1 di questo documento pdf.
  • Resistenza interna in modalità amperometro e voltmetro.
  • Esercizio: dallo schema, ricavarsi la resistenza interna quando viene usato come voltmetro nei fondo scala 2V e 10V.
• Misure di tensione, corrente (strumento in serie!) e resistenza (att. ad altre resistenze in parallelo o ad eventuali generatori!).
• Perturbazioni introdotte dagli strumenti. Voltmetro ideale (R_V → ∞) e amperometro ideale (r_A → 0).
  Esercizi per valutare l'entità delle perturbazioni:
  • Si immagini un generatore di f.e.m. f con in serie due resistenze R₀ e R: valutare le tensione su R e confrontarla con la tensione misurata da un voltmetro di resistenza interna R_V.
    → Si esprima il rapporto fra tensione misurata e tensione ideale in funzione del rapporto fra R_p, parallelo fra R e R₀, e R_V.
  • Si immagini un generatore di f.e.m. f con in serie la resistenza R: si valuti la corrente che fluisce in R e la si confronti con quella misurata da un amperometro di resistenza interna r_A.
    → Si esprima il rapporto fra corrente misurata e corrente ideale in funzione del rapporto fra r_A e R.
• Condensatore:
  Introduzione 'modellistica' al condensatore tramite la sua proprietà fondamentale: ΔV_C = Q/C e analogia con capacità termica.
  • Analisi del circuito con generatore, resistenza e condensatore posti in serie:
    • idea di base del modello:
      • il condensatore si comporta come un generatore di tensione variabile, il cui valore da quanta carica è immagazzinata ad un certo istante;
      • quindi basta applicare la regola generale che Σ_iΔV_i = 0, ovvero, nel caso elementare, f -IR -V_C=0, etc. etc.
    • corrente che fluisce nel circuito e variazione di carica sulle armature del condensatore: I = dq/dt → dQ/dt;
    • I = (f - V_C)/R
      → dQ/dt = (f - V_C)/R
      → C dV_C/dt = (f - V_C)/R.
    • diventa, in forma canonica: dV_C/dt = - 1/τ (V_C - f), con τ = RC.
  • Carica/scarica del condensatore e analogia con 1) variazione di velocità oggetto che cade soggetto a forza totale mg - βv; 2) processo di termalizzazione (+decadimenti nucleri, crescite/decrescite di popolazioni e altro).
  • Esercizi:
    • risolvere l'equazione differenziale appena incontrata con le seguenti condizioni al contorno:
      1. V_C (t=0) = 0 e f ≠ 0 (carica);
      2. V_C (t=0) ≠ 0 e f = 0 (scarica).
    • Tabulare i valori V_C (t) in carica/scarica per R = 30MΩ e C = 2.2μF, riportarli su carta semilog (distribuita a lezione) e ricostrire τ.
    • Valutare la corrente I(t) che circola nel circuito per i generici valori R e C (banalmente da =dQ/dt) e la tensione ai capi di R (legge di Ohm) in carica e scarica, cercando di farsi una ragione dei segni di I(t) e V_R(t).
    • Nota I(t) valutare la potenza P_G(t) erogata dal generatore e quella [P_R(t)] dissipata dalla resistenza.
    • Da P_G(t) e P_R(t) ricavarsi l'energia totale fornita dal generatore, quella dissipata dalla resistenza per effetto Joule e, per differenza, quella immagazzinata nel condensatore.
    • Infine, mostrare come durante la scarica l'energia del condensatore ricompare come energia termica per effetto Joule sulla resistenza.
• Teorema di Thevenin:
  • dimostrazione, basata sul principio di sovrapposizioone (vedi appunti);
  • uso su circuito teorico e su scatola nera empirica;
  • applicazione al “master example”.
• Esercizi:
  • Completare esercizi in sospeso (in particolare considerazione energetiche su carica/scarica del condensatore).
  • Verifica del teorema di Thevenin sul 'master example', 'thevenizzato' fra i punti B e C (ovvero in parallelo a R₂), in particolare confrontare la corrente di corto circuito mediante dall'equivalente di Thevenin con quella valutata direttamente.
  • Si immagini di collegare, in parallelo a R₂(t) la resistenza R₄ = 5Ω: → calcolare I₄ e nuova differenza di potenziale ai capi di R₂(t).
  • Si immagini di aggiungere ancora, in parallelo a R₄ un condensatore di capacità 10nF: → valutare V_C(t)
• LABORATORIO:
  • presentarsi tutti martedì 5, ore 14:30 presso i laboratori di Via Tiburtina, coscienti che qualcuno potrebbe essere assegnato alla classe del mercoledì (con priorità a volontari);
  • procurarsi quaderno di laboratorio, (1 per coppia; chi è in dubbio sulla coppia si porti un quaderno proprio).
  • Appunti sull'esercitazione (non è una `scheda'!): file pdf (non verranno distribuiti in laboratorio!). Si consiglia fortemente di fare mente locale su cosa si andrà a fare, cercando di chiarirsi eventuali punti deboli sulla teoria che riguarda l'esercitazione (lavorare sugli esercizi proposti in questa lezione può essere molto utile).
  • Si raccomanda inoltre di riguardarsi uso del logbook, cifre, tabelle, grafici e analisi grafiche (in particolare uso della carta logaritmica).

 

Lezione 4 (6/4/11)

• Soluzione mediante matrici dei circuiti in corrente continue:
  • applicazione al master example;
    • esercizio: ricavarsi la matrice che applicata al `vettore' {f₁, f₂} dà il 'vettore soluzione ({I₁, I₂, I₃}).
  • principio di sovrapposizione e circuiti lineari;
• Ancora sul teorema di Thevenin.
  • Esercizio: si ha una scatola nera e viene misurata la tensione fra i punti A e B (ovvero V_A-V_B) e la corrente di corto circuito; esse valgono 5V e 100mA. Si ha anche una seconda scatola nera, per la quale si misurano V_A'-V_B' = 3V e una corrente di corto circuito di 300mA. Successivamente le due scatole nere vengono collegate fra di loro, A con A' e B con B'. Valutare la tensione che si misurerà fra i punti A e B.
• Generatori di corrente ed equivalente di Norton: generatore di corrente I₀, con resistenza in parallelo R_eq;
  • Relazione fra i parametri degli equivalenti di Thevenin e di Norton:
    • R_eq^(N) = R_eq^(T);
    • I₀^(N) = V_eq^(T) / R_eq
  • Soluzione di circuiti contenenti generatori sia di tensione che di corrente:
    • uso del principio di sovrapposizione;
    • riduzione (quando è possibile) a equivalenti di Thevenin.
  • Esercizi: (i primi due volti in aula)
    • mostrare come ai capi dell'equivalente di Norton la tensione a circuito aperto vale V_eq^(T), mentre la corrente di corto circuito vale I₀^(N);
    • si immagini di applicare agli equivalenti di Thevenin e di Norton dello stesso circuito una resistenza 'di carico' R: mostrare che la corrente che attraversa R è la stessa per entrambi gli equivalenti;
    • Applicare teorema di Thevenin e teorema di Norton al master example.
• Uso del teorema di Thevenin per schematizzare un generatore reale di tensione:
  • resistenza interna del generatore;
  • Esercizi::
    • Si consideri un generatore di tensione (V₀) con resistenza interna R₀, a cui è connessa una resistenza R:
      • si calcoli la potenza totale in funzione del rapporto delle due resistenze;
      • si calcoli la potenza erogata dal generatore verso l'esterno, ossia quella dissipata dalla resistenza “esterna” e, in particolare, per quale valore di R/R₀ essa è massima;
      • si calcoli l'efficienza η, definita come il rapporto fra l'energia (o potenza) erogata verso l'esterno e quella totale fornita dal generatore, in funzione di R/R₀.
• Uso del teorema di Thevenin per modellizzare le perturbazioni introdotte da voltmetro e amperometro.
• Perturbazione introdotta dal voltmetro: caso di misura di tensione ai capi di un generatore (V₀) piu' una resistenza (R₀):
  • → partitore: V = V₀ R_V/(R₀ + R_V) = V₀ × 1/(1 + R₀/R_V).
• Perturbazione introdotta dall'amperometro:
  • I = V₀ / (R₀ + r_A) = I₀ × 1/(1 + r_A/R₀), ove I₀ rappresenta il valore (ideale) imperturbato, ovvero I₀ = V₀/R₀ .
• Condensatori in parallelo e in serie
  • regole duali a quelle delle resistenze (vedi corso di Elettromagnetismo);
  • Problemino dei due condensatori prima caricati e poi collegati in paralello (+ con + e - con -).
• Problemino del generatore di tensione con resistenza, ma senza chiudere il circuito: perché il potenziale all'estremo 'volante' della resistenza è uguale a quello all'estremo collegato al generatore? (Risolto in aula, con varianti interpretative).
• Soluzione dell'equazione differenziale che descrive carica e carica di un condensatore:
  • carica: V_C(t) = f (1 - e^-t/τ), da cui I(t) = dQ(t)/dt = C dV_C(t)/dt = f/R e^-t/τ e V_R(t) = R I(t) = f e^-t/τ;
  • scarica: V_C(t) = f e^-t/τ, da cui I(t) = -f/R e^-t/τ e V_R(t) = - f e^-t/τ.
  • Note sul significato dei segni e sulla somma, istante per istante, di V_C(t) e V_R(t).
  • Note sulla linearizazione di tali andamenti mediante grafici su carta semilog.

Considerazioni energetiche nella carica e scarica del condensatore (essenzialmente soluzione di problemi proposti la scorsa lezione):

• Bilancio energetico nella carica/scarica del condensatore:
  • carica (ove Q è la carica finale):
    • energia fornita dal generatore (o dal suo equivalente di Thevenin nel caso di 'complicazioni'): fQ = f(Cf) = Cf²;
    • energia dissipata per effetto Joule dalla resistenza: P_J(t) = RI²(t), con I(t) = f/R e^-t/τ. Ne segue E_J = ∫₀^∞P_J(t)dt = 1/2 C f².
      → Che fine ha fatto l'energia residua? → E_C = 1/2 C f².
    • Se E_C = 1/2 C f² è un'energia deve 'rispuntare'.
  • scarica: P_J(t) = RI²(t), con I(t) = -f/R e^-t/τ:
    → quindi la resistenza dissipa esattamente la stessa energia nei processi di carica e di carica e di scarica, ogni volta pari a quella immagazzinata dal condensatore.

 
 

Lezione 5 (13/4/11)

• Quattro resistenze “a ponte” (di Wheatstone): condizione fra le resistenze affinché sia `equilibrato' (stesso potenziale fra i punti `centrali' A e B): soluzione mediante “partitori affiancati”:
  • affinché sia “bilanciato&rdquo la partizione da una parte deve essere uguale a quella dall'altra parte, ovvero il rapporto delle resistenze a sinistra deve essere uguale al rapporto di quelle a destra;
  • uso del ponte per misure di resistenza mediante due resistenze perfettamente note e un potenziometro di precisione.
• Commenti sulla prima esercitazione di laboratorio:
  • alcuni gruppi hanno bisogno di rivedersi le raccomandazioni sul logbook, l'uso delle cifre significative della carta millimetrata (soprattutto semilog).
  • commenti sulle esperienze:
    1. calibro e importanza di leggere al meglio gli strumenti analogici.
    2. Collanina cortocircuitata agli estremi: semplice applicazione di resistenze in serie e in parallelo.
    3. Partitore di tensione con diversi strumenti e diversi fondi scala:
       • se con il voltmetro di resistenza interna R_V si esegue una misura di tensione ai capi di n R, non si misurerà f ×n/N (partitore fra nR e (N-n)R, bensì il partitore fra R_p e (N-n)R, ove R_p sta per il parallelo fra (N-n)R e R_V.
    4. Carica e scarica del condensatore:
       • il condensatore non si carica alla tensione del generatore a causa della resistenza del voltmetro, posta in parallelo al condensatore:
         • quando il condensatore si è caricato scorre ancora corrente nel circuito: → le resistenze R e R_V diventano in serie (stessa corrente - non lo erano inizialmente!): → partitore fra R_V e R;
         • equivalente del circuito composto dal solo generatore e resistenze ai capi del condensatore (staccato):
           • V_eq data dal partitore fra R_V e R;
           • R_eq data dal parallelo fra R_V e R;
           • → la perturbazione cambia la tensione di carica e la costante di tempo dello stesso fattore!
         • differenza fra scarica spegnendo il generatore (il condensatore si scarica sul parallelo fra R_V e R) e scarica staccando il generatore (il condensatore si scarica sulla sola R_V).
  • Per proseguimento analisi dati dell'esercitazione vedi file aggiuntivo nella giornata dell'esperienze (sito principale del corso)
  • Consegna quaderni: 27 aprile.
• Introduzione alle correnti alternate:
  • generatore di tensione variabile nel tempo: generatore di segnali di laboratorio;
  • importanza teorica e pratica dei circuiti in regime sinusoidale (→ teorema di Fourier, che sarà fatto nel corso di Metodi);
  • importanza pratica dell'alta tensione per il trasporto di di energia e della corrente alternata per la trasformazione di tensione.
• Introduzione allo studio dell'RC in regime sinusoidale:
  • notazioni semplificate (V_C, V_R): attenzione alle polarità!
  • caso facile in cui T>>&tau.
• Oscilloscopio a raggi catodici.
  • Introduzione qualitativa al suo principio di funzionamento (e a quello dei televisori a raggi catodici).
  • Illustrazione dei comandi fondamentali (per dettagli vedi dispensa suggerita e appunti online De Bernardis/Masi).

 

Lezione 6 (20/4/11)

• Esercizi di `riscaldamento' sul teorema di Thevenin.
• Esercizio: ponte di Wheatstone 'sbilanciato', con resistenza r fra A e B (vedi appunti e lezione precedente): calcolare la corrente che scorre in questa resistenza (suggerimento: Thevenin).
• Ancora sull'esercizio del trasferimento di potenza: soluzioni (senza dettagli) e loro significato:
  • trasferimento di potenza (verso l'esterno) è massimo quando R (del carico) è pari alla resistenza interna del generatore R<sub>0</sub>;
  • efficienza (frazione di potenza dissipata all'esterno rispetto al totale) massima quando R >> R<sub>0</sub>;
  • nelle condizioni di massimo trasferimento di potenza l'efficienza è pari al 50%.
• Continuazione introduzione all'oscilloscopio:
  • misura ampiezza e frequenza;
  • ruolo del trigger: soglia e polarità;
  • visualizzazione di due tracce e misure di sfasamento;
  • uso (e abuso) del trigger LINE (e analogia con le ruote dei carri nei film).
• Circuito RC con segnale in “corrente alternata” (segnale periodico; si ricorda che i generatore di onde disponibili in laboratorio possono produrre onde sinusoidali, rettangolari e triangolari).
  • Considerazioni generali
    • nel caso limite si periodo dell'onda molto maggiore della costante di tempo del circuito (T >> τ) il condensatore si porta `istantaneamente' alla tensione del generatore;
    • nel limite opposto (T << τ) il condensatore non riesce mai a `raggiungere' il generatore;
      • sottocaso interessante, con onde rettangolari fra +V₀ e -V₀: il condensatore tende alla tensione di alimentazione in modo lineare (in quando per t << τ l'esponenziale è soddisfacentemente approssimato da una retta) finché essa non si inverte, quindi tende al valore opposto, etc.:
        → onda triangolare di ampiezza << V₀.
• Circuito RC in “regime sinusoidale”, ovvero alimentato da un generatore sinusoidale V(t) = V₀ cos ωt, con periodo T = 2π/ω.
  • Casi limite:
    • per T >> τ vale quanto detto sopra:
      → V_C(t) = V(t);
    • per T << τ il condensatore tende, istante per istante, al valore istantaneo di V(t), il quale, a differenza dell'onda rettangolare, cambia con continuità:
      → la derivata di V_C(t) è proporzionale a V(t).
      Esercizio: quanto vale V_C(t) in base a queste considerazioni. (Verificare che con lo stesso ragionamento si riottiene anche il caso limite dell'onda rettangolare.)
  • Equazione differenziale per risolvere il caso generale:
    V(t) - R dQ/dt - Q(t)/C = 0, ovvero V(t) - τ dV_C/dt - V_C(t) = 0:
    • soluzione omogenea importante solo all'accensione (il tansiente si spegne con costante di tempo τ);
    • soluzione particolare è 'forzata' alla frequenza del generatore ed è perciò del tipo V_C(t) = V_C0 cos(ωt + φ_C):
      → V_C0 e φ_C in funzione della frequenza e dei parametri del circuito (riassunti in τ)
    • sostituendo la soluzione “di prova” nell'equazione differenziale si ottiene:
      V₀ cos ωt + τω V_C0 sin(ωt + φ_C) - V_C0 cos(ωt + φ_C) = 0
      una equazione con due incognite? ;-) ...
    • → non è una sola equazione, ma infinite equazioni (non indipendenti), una per ogni valore di t.
      Scegliendo t=0 e t=T/4 si hanno le seguenti equazioni:
      1. V₀ - τω V_C0 sin(φ_C) - V_C0 cos(φ_C) = 0;
      2. τω V_C0 sin(&pi/2 + φ_C) - V_C0 cos(π/2 + φ_C) = 0, che può essere riscritta τω V_C0 cos(φ_C) + V_C0 sin(φ_C) = 0.
    • Dalla seconda equazione abbiamo tan(φ_C) = -ωτ = -ω/ω_T = -ν/ν_T, avendo definito ω_T = 1/τ (pulsazione di taglio), da cui ν_T = 1/2πτ (frequenza di taglio).
      • Esercizio: studiare (anche aiutandosi con grafici al computer) φ_C in funzione della frequenza.
    • Sostituendo il valore di φ_C = argtan(-ω&tau) nella prima equazione^(*) si trova
      • V_C0 = V₀ / sqrt(1 + ω²τ²) = V₀ / sqrt(1 + ω²/ω_T²) = V₀ / sqrt(1 + ν²/ν_T²).
      • Esercizio: studiare (anche aiutandosi con grafici al computer) V_C0 in funzione della frequenza.
      ^(*)Si ricordano le due relazioni trigonometriche utili per risolvere l'equazione:
      • sin(arctan(x)) = x / sqrt(1+x^2)
      • cos(arctan(x)) = 1 / sqrt(1+x^2)
    • Significato della frequenza di taglio: circuito RC come filtro: passa basso.
    • Filtro complementare (passa alto) prelevando la tensione di uscita ai capi di R (ragionamento qualitativo).
    • Attenuazione dell'ampiezza di tensione per ν=ν_T e modo per determinare empiricamente ν_T.
  • Da V_C(t) a V_R(t):
    • V_R(t) = RdQ/dt = τdV_C/dt;
    • derivate ”da fisico“ di seno e coseno (rispetto al tempo): ogni derivata equivale a moltiplicare per ω e sfasare di +&pi/2.
      • →analogia cinematica: moto circolare uniforme:
        • vettori ruotanti r e v;
        • |v| = ω |r|;
        • significato dell'affermazione “v anticipa r di π/2” indipendentemente dalla frequenza di ruotazione.
    • → V_R(t) = ωτV_C0cos(ωt + φ_C + π/2), ovvero:
      • V_R0 = ωτV_C0;
      • φ_R = φ_C + π/2;
    • Per ricordarsi del fatto V_R(t) è ottenuta da V_C(t) moltiplicando per ωτ e anticipando di π/2, si noti che per passare da V_C(t) a V_R(t) occorrono i seguenti passaggi:
      1. da V_C(t) a Q_C(t) [→ × C];
      2. da Q_C(t) a I(t) [→ derivata, quindi ampiezza moltiplicata per ω e fase incrementata di π/2];
      3. da I(t) a V_R(t) [→ legge di Ohm: × R].
      [Inoltre il fattore che lega V_R(t) a V_C(t) deve essere ovviamente adimensionale e la più semplice funzione adimensionale dei parametri in gioco, tale che per ω→0 tende a zero (cosa che sappiamo dover essere vera da ragionamenti generali), è proprio RCω = τω.]
    • Esercizi:
      • riscrivere in modo opportuno V_R0 in funzione della tensione del generatore, della frequenza e della frequenza di taglio;
      • fare il confronto (anche mediante grafici) di V_R0 V_C0, verificando, fra l'altro, che il filtro realizzato prelevando l'uscita ai capi di R è un passa alto;
      • idem per gli sfasamenti (riflettere sul significato di 'anticipo' e 'ritardo');
      • in particolare, valutare quanto valgono ampiezze e sfasamenti alla frequenza di taglio.
    • Altri esercizi:
      • Valutare quanto I(t) e, riscrivendo anch'essa come una funzione coseno con opportuna ampiezza e fase:
        • ricavarsi ampiezza e fase;
        • calcolare il rapporto fra V_C0 e I₀: che significato potrebbe avere questo rapporto?
      • Supponiamo che la tensione ai capi di un ipotetico elemento circuitale dipenda dalla derivata dell'intensità di corrente (con un fattore di proporzionalità che indichiamo con L): ricavarsi quanto vale la tensione ai capi di questo elemento (sempre espressa come ampiezza e fase rispetto al generatore).
  • `Esercizio' (anticipo di quanto si farà nella lezione, ma che, con le opportune indicazioni, diventa un semplice esercizio di matematica) un modo alternativa per risolvere il problema consiste nel passare a variabili complesse:
    • tensione del generatore complessa: v(t) = V₀e^j(ωt), di cui la grandezza fisica di interesse è la parte reale, V(t)= Re[v(t)] = V₀cos(ωt);
    • soluzione di prova complessa (lettere minuscole) v_C(t) = V_C0e^{j(ωt + φ_C)}, di cui la soluzione fisica è la parte reale, ovvero V_C(t) = Re[v_C(t)], come si può verificare facilmente;
    • è conveniente fattorizzare v_C(t) in una parte dipende dal tempo e una indipendente: v_C(t) = [V_C0e^jφ_C]×e^jωt;
      → ovvero, chiamando la parte non dipendente dal tempo v_C0 [=V_C0e^jφ_C], riscriviamo la soluzione di prova come v_C(t) = v_C0e^jωt;
    • inserire la soluzione di prova v_C0e^jωt nell'equazione differenziale e ricavarsi v_C0;
    • trovata la soluzione complessa v_C0, ricavarsi le espressione di V_C0 e φ_C.
  • Infine: una volta trovata l'espressione della tensione V_C(t) ai capi del condensatore:
    • ricavarsi l'espressione della corrente che circola nel circuito (banalmente dQ/dt = CdV_C/dt) e della tensione V_R(t) ai capi della resistenza (banale legge di Ohm);
    • esprimere I(t) e V_R(t) come I₀cos(ωt + φ_I) e V_R0cos(ωt + φ_R), rispettivamente, e ricavarsi le relazioni che intercorrono fra φ_C, φ_I e φ_R.

 

Lezione 7 (27/4/11)

• Guida pratica all'uso dell'oscilloscopio (ISO-TECH ISR 622, per dettagli manuale (pdf 2.0MB)).
  In particolare:
  • selezione degli ingressi, loro ampiezze e posizione;
  • visualizzione multipla di tracce e operazione ADD (e differenza mediante inversione);
  • scala temporale e shift orizzontale;
  • selezione del trigger;
  • uso e imoportanza del trigger esterno;
  • opzione x-y e suo uso per misure di sfasamento.
  • problema delle `masse accoppiate': → impossibile visualizzare V<sub>C</sub> e V<sub>R</sub> simultaneamente.
• Illustrazione delle prossime 2 esercitazioni: oscilloscipio e circuito RC sia in onda quadra che in onda sinusoidale.
• Riepilogo della teoria dell'RC in onda quadra (carica e scarica del condensatore): tensioni ai capi di C e ai capi di R; significato dei segni. Cosa cambia fra segnale di onda quadra fra 0 e un massimo e segnale di onda quadra `bipolare' (da -V₀ a V₀).
• Riepilogo delle varie formule ottenute per ampiezza della tensione e suo sfasamento in funzione della frequenza:
  • ai capi di C:
    • V_C0 = V₀ / sqrt(1 + ω²τ²) = V₀ / sqrt(1 + ω²/ω_T²) = V₀ / sqrt(1 + ν²/ν_T²);
    • &phi_C = -atan(ωτ) = - atan(ω/ω_T) = - atan(ν/ν_T).
  • ai capi di R:
    • V_R0 = V₀ / sqrt(1 + 1/(ω²τ²)) = V₀ / sqrt(1 + ω_T²/ω²) = V₀ / sqrt(1 + ν_T²/ν²);
    • &phi_R = &phi_C + π/2 = atan(ν_T/ν).
      [tan(α + π/2) = -cotg(α).]
• Circuito RC come filtro: passa basso ai capi di C e passa alto ai capi di R (anche 'CR'): significato e applicazioni
• Discussione della fenomenologia dell'RC in regime sinusoidale e delle misure da eseguire in laboratorio.
• Introduzione alla soluzione mediante l'uso di variabili complesse: vedi esercizi della lezione scorsa.
  • Esempio: come passare da v_C(t) a v_R(t):
    • q(t) = C v_C(t);
    • i(t) = dq(t)/dt = jωC v_C(t);
    • v_R(t) = R i(t) = jωRC v_C(t) = jωτ v_C
      → v_R(t) = ωτ e^jπ/2 V_C0e^j(ωt+φ_C);
      → V_R(t) = Re[v_R(t)] = ωτ V_C0 cos(ωt + φ_C + π/2).
  • Si tratta ora di risolvere
    • v(t) = v_R(t) + v_C(t)
    per trovare, ancora una volta, V_C0 e φ_C: provarci.

 

Lezione 8 (4/5/11)

• Esercizio di riscaldamento su teorema di Thevenin e teorema di Norton.
• Attenuazioni e amplificazioni espresse in decibel:
  • In genere i rapporti espressi in decibel sono definiti come Ratio_dB = 10 log₁₀ x, ove x è il rapporto fra due valori di una grandezza fisica.
  • [Nota fuori programma: Weber-Fechner law.]
  • In fisica/ingegneria elettronica si assume che i rapporti siano applicati alle potenze:
    • PowerRatio_dB = 10 log₁₀(P₂/P₁)
    da cui:
      → 20 log₁₀(V₂/V₁)
  • valori tipici (-20dB corrisponde al tastino di attenuazione del generatore di segnali di laboratorio):

    dB	V2/V1
    +6	≈2
    -6	≈1/2
    +20	10
    -20	1/10
    -40	1/100

  • I rapporti espressi in decibel sono additivi.
• Induttore:
  • Introduzione modellistica, con cenni alla legge di Lenz.
  • Circuito con generatore, resistenza, induttanza e capacità.
  • Analogie meccaniche e casi particolari.
• Risoluzione del circuito RC sinusoidale mediante il metodo simbolico (essenzialmente soluzione degli esercizi proposti da varie lezioni): tensione ai capi di C.
• Informazioni sul corso:
  1. Dalla prossima esercitazione (10 maggio) l'esercitazione del mercoledì è soppressa: → tutti il martedi.
  2. Questi appunti saranno sempre più concisi: per le ultime lezioni fare riferimento a quelli dello scorso anno, essendo il programma praticamente identico, anche se l'ordine della presentazione dei contenuti può talvolta differire.

 

Lezione 9 (11/5/11)

• Circuito RL.
• RCL impulsato (vedi osc_smorz.pdf, prestando attenzione ad eventuali errori di battitura) e indicazioni sulle prima parte dell'esperienza di laboratorio sull'RLC.
• RCL in regime sinusoidale usando la notazione complessa:
  • → I₀ e φ_I;
  • Provare a proseguire da soli, note le relazioni che legano v_R0, v_C0 e v_L0 a i₀, e ricavarsi ampiezze e fasi delle tensioni sui vari componenti in funzione della frequenza (v_R0 è banale;)
  • Come tener conto che ad un induttore reale è associata anche una resistenza R_L in serie e che inoltre c'è anche la resistenza del generatore?

 

Lezione 10 (18/5/11)

• Circuito RCL sinusolidale, continuazione; metodo simbolico.
• Introduzione a R.
  Script per RCL:
  • RCL_sinusoidale.R.
    [Per eseguire lo script da una console R: source("RCL_sinusoidale.R"); quando lo script è terminato le variabili definite sono a disposizione per ulteriore lavoro interattivo: per avere la lista delle variabili usare il comando ls(), o ls.str() per ulteriori dettagli.]
  • RCL_impulsato.R.
  Script per RC (onde ai capi di C e di R in funzione del tempo):
  • RC_onde.R [Perché i picchi delle tensioni ai capi di R e di C giacciono sempre sulla curva del generatore?]

 

Lezione 11 (25/5/11)

• Commenti su cifre e incertezze nelle misure sui circuiti.
• RCL impulsato: caso (quasi) generale che prevede non soltanto la scarica del condensatore ma anche la sua carica e, comunque, la transizione fra due livelli qualsiasi del generatore ad onda quadra. (La sola approssimazione, da cui il `quasi', è che il periodo dell'onda quadra sia abbastanza grande da tare tempo alla tensione ai capi di C di stabilizzarsi).
  • Si modifica l'equazione differenziale introducendo un termine costante f (tensione del generatore: il caso f=0 recupera le ben note oscillazioni smorzate). Quindi:
    L d<sup>2</sup>Q/dt<sup>2</sup> + R dQ/dt + Q/C - f = 0
    d<sup>2</sup>Q/dt<sup>2</sup> + γ dQ/dt + ω<sub>0</sub><sup>2</sup> Q - f/L = 0
    d<sup>2</sup>V<sub>C</sub>/dt<sup>2</sup> + γ dV<sub>C</sub>/dt + ω<sub>0</sub><sup>2</sup><sub>C</sub> - f/(LC) = 0
    d<sup>2</sup>V<sub>C</sub>/dt<sup>2</sup> + γ dV<sub>C</sub>/dt + ω<sub>0</sub><sup>2</sup> (V<sub>C</sub> - f) = 0, che, mediante il cambiamento di variabili z=V<sub>C</sub> - f, ridiventa la `famosa'
    d²z/dt² + γ dz/dt + ω₀² z = 0, con la condizione iniziale z₀ = V_C0 - f.
  • La soluzione è quindi quella descritta negli appunti (osc_smorz.pdf), previa sostituzione nelle (38) e (39) di V_C0 - f al posto di z₀.
  • Script R con la soluzione 'ideale' (per semplicità viene considerata una sola resistenza e quindi V_R sta per tensione ai suoi capi, grandezza ovviamente non misurabile in un RCL reale): RCL_impulsato_su-giu_ideale.R.
• Ancora RCL sinusoidale, con discussione delle tensioni e fasi sui vari elementi, con partizioni complesse, limiti, etc.
• Ancora su analogia fra oscillazioni smorzate elettriche e meccaniche: Q=sqrt(k m)/β.
  • Problemini (assolutamente fuori programma, ma possono essere istruttivi) sulle oscillazioni smorzate di un pendolo semplice nella tipica approssimazione di piccole oscillazioni:
    • Come dipende il fattore di merito dai vari parametri del pendolo (m, l, g, β)?
      [Passaggio intermedio: capire chi è l'equivalente della costante elastica k nel caso del pendolo, poi tutto il resto vien da se.]
    • Come dipende Q dalla densità della massa sospesa?
    • Per avere un Q grande è preferibile avere (a parità di densità) una sfera grande o piccola?
    • Trovare l'espressione dell'energia totale del pendolo in analogia alla molla e all'RCL e confrontare l'espressione dell'eneria potenziale con quella valutata `normalente' come mgh.
    • Trovare inoltre la dipendenza dai parametri del tempo necessario affinché l'ampiezza di oscillazione si riduca di 1/e di quella iniziale.
    • Infine, visto che stiamo considerando masse sospese non puntiformi calcolare la `lunghezza efficace' l_e del pendolo, ovvero la lunghezza di un pendolo di massa puntiforme che oscilla con lo stesso periodo di un pendolo di lunghezza l (intesa come distanza fra punto di oscillazione e centro della sfera) a cui è sospesa una sfera omogenea di raggio r.
• Ancora sul trasferimento di potenza nei circuiti a corrente continua.
• Potenza in regime sinusoidale:
  • Script R: potenza_sinusoidale.R.
• Ulteriore script di R:
  • Ellissi nel caso dell'RC: RC_ellissi.R.
  • Provare a fare analogo script per RCL.

 

Lezione 12 (1/6/11)

(Si ricorda di consultare gli appunti dello scorso anno per ulteriori dettagli.)

• Grandezze efficaci (e ancora su potenza in regime sinusoidale);
• RCL parallelo. (Con discussione su generatori di corrente a proposito di RCL parallelo alimentato in corrente sinusoidale.)
• Un po' di nomeclatura: fasori, reattanza e ammettenza (con conduttanza e suscettanza).
• Esperimentini dimostrativi su induzione:
  • Legge di Lenz con tubi in alluminio e geomag [per un'interessante trattazione didattica vedi qui (copia locale)].
  • Torcia elettrica a induzione. Componenti (si potrebbe fare un intero corso su questo oggetto):
    • magnete permanente;
    • Bobina;
    • circuito raddrizzatore;
    • batteria ricaricabile;
    • interruttore;
    • led ad alto flusso luminoso.
• Cenni al principio di funzionamento dei trasformatori di tensione e alla loro importanza pratica.
• Ancora su RC con ripasso sul loro ruolo di passa basso e passa basso (e visione `antropomorfa' del comportamente del condensatore in funzione della frequenza...).
• RC e CR come circuiti integratori e derivatori (si raccomanda di provare a risolvere gli esercizi in fondo alla lezione 12 dello scorso anno)

La prossima lezione portare dispensa della linea di trasmissione  
 

Lezione 13 (8/6/11)

• Introduzione modellistica al diodo e sue semplici applicazioni.
• Introduzione alla linea di trasmissione:
  • discussa a lezione dispensa fino formula (42) di pag. 11;
  • per esercizio provare ad anticiparsi fino a tutto il paragrafo 4.1.1 (pag. 14).
• Risposta a domanda comune a proposito dell'ultima esperienza, ovvero se tornare in laboratorio per completare i vari punti o prendere qualche misura mancante.
  • Ricordarsi che le esperienze servono a familiarizarsi con gli strumenti, capire meglio la fenomenologia e anche ad organizarsi con il lavoro di laboratorio riportare in modo `utile' le misure e i risultati di elaborazioni successive. Quindi, non esistono imperativi categorici su cosa bisogna o non bisogna fare. Provare invece a rispondere onestamente ai seguenti punti:
    • Ho capito la fenomenologia dell'RCL impulsato e sinusoidale, ovvero ampiezze e sfasamenti sui vari elementi? (In caso di dubbio, può essere più istruttivo fare dei grafici con R per capire le cose piuttosto che prendere misure alla cieca)
    • Riesco a capire (almeno grosso modo e a parte `misterioso effetti strumentali' che quest'anno sembrano particolarmente strani) perché le grandezze osservate hanno quei valori e quegli andamenti?
    • Saprei in grado, in sede di prova pratica, di effettuare le varie misure richieste? In particolare, riuscirei a misurare funzioni di trasferimento (in particolare la fase) quando per qualche motivo il confronto con l'uscita del generatore quando il circuito è connesso subisce importanti effetti di partizione (complessa)?
• Messaggio da parte dei tecnici di laboratorio per favore, la prossima volta riportare i componenti.

 

Lezione 14 (14/6/11)

• Habemus libellum novum: copisteria Grafitecnica, Via degli Irpini 6 (174 pagine a 4 c€/p + eventuale rilegatura),
• Esercizio di riscaldamento su RL sinusoidale e richiamo sull'importanza di saper valutare gli andamenti limite `al volo'.
• Linea di trasmissione: completamento teoria + indicazioni sulla prova pratica.