Sintesi di una distribuzione di probabilità: previsione e incertezza di previsione

La distribuzione di probabilità contiene tutte le informazioni dettagliate sullo stato di incertezza rispetto al numero aleatorio di interesse, contenendo, infatti, il nostro grado di fiducia su ciascuno dei valori che tale numero può assumere. Cerchiamo ora di definire delle grandezze che abbiano la capacità di riassumere in modo immediato e sintetico alcune caratteristiche della distribuzione. Detto alla buona, esse rispondono alla domanda: ``quali valori ci aspettiamo che si verifichino?'' Prima di mostrare i criteri per definire operativamente tali grandezze, aiutiamoci con l'intuito su alcuni esempi, al fine di capire meglio a quale domanda ``naturale'' stiamo cercando di rispondere.

Abbiamo visto come, nel caso della distribuzione geometrica, il valore più probabile non dia l'idea dei valori che tipicamente si verificano. Lo stesso vale per l'incertezza di previsione, ovvero per la dispersione dei valori che si possono ragionevolmente presentare. Il fatto che per avere la certezza assoluta bisogna considerare un numero infinito di lanci non induce ad affermare che ``l'incertezza'' è infinita e indipendente da $p$. Come noto, nel caso del lancio di una moneta, una fluttuazione di tre o quattro estrazioni, rispetto alle aspettative di un circa successo ogni due, tende già ad essere considerata rara. Nel caso del singolo estratto al lotto invece, si tendono a considerare le fluttuazioni ``anomale'' quando il numero di estrazioni senza successo supera le 50-60. Ciò sta ad indicare che l'incertezza di previsione è ritenuta, nel secondo caso, dell'ordine delle decine di estrazioni.

Facciamo un esempio con più lanci di una moneta:

• Se lanciamo una moneta 2 volte, ci aspettiamo che il numero di volte in cui si verifica testa sarà intorno a 1. Nessuno si stupisce se esso sarà 0 o 2. Se lanciamo la moneta 1000 volte ci aspettiamo circa 500 teste, ma riteniamo molto improbabili i valori estremi di 0 e di 1000. Quindi mentre qualitativamente il primo caso può essere riassunto in una previsione di $1\pm \approx 1$, nel secondo caso una previsione di $500\pm \approx 500$ è decisamente pessimistica.
• Nel caso poi che la moneta venga lanciata invece un numero dispari di volte, ci ``aspettiamo'' un numero frazionario di successi. Ad esempio una previsione di 2.5 teste su 5 lanci rende bene l'idea, anche se nessuno penserà mai di osservare esattamente 2.5 successi!

Ancora degli esempi ispirati alle immancabili urne:

• Considerando un'urna contente 1000 palline di cui 500 bianche e le restanti nere. Se estraiamo, e successivamente reintroduciamo, 5 palline bianche, le nostre aspettative sul numero di palline bianche sono analoghe al caso precedente del lancio di una moneta. In particolare ci aspettiamo che le combinazioni più asimmetriche (5 bianche o 5 nere) siano le meno probabili. Per ragioni di simmetria ci aspettiamo che la probabilità massima sia per $X=2$ e $X=3$. Quindi un modo alternativo di fornire la previsione potrebbe essere quello di dire ``i valori che mi aspetto di più sono 2 e 3''. In particolare, la probabilità che $X$ sia $\le 2$ è uguale a quella di $X\ge 3$ (ne segue che il punto intermedio fra 2 e 3 è quello che divide i possibili valori di $X$ in due regioni di pari probabilità). Quindi anche questi criteri indicherebbero una previsione dei valori ``fra 2 e 3''.
• Si può però immaginare facilmente (il modo standard di fare i conti sarà mostrato parlando della binomiale) che cambiando leggermente la composizione dell'urna (ad esempio 499 bianche, poi 498, 490, etc) dapprima ci sarà una variazione brusca dell'indicazione fornita da questa definizione operativa dell'incertezza (nell'esempio fatto passerà a 2), per diventare poi largamente insensibile all'esatta composizione dell'urna, per poi subire un'altra variazione brusca verso il valore 1, e così via.

Riassumendo:

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volendo definire qualitativamente i concetti di previsione e di incertezza di previsione si può dire che^6.8:

la previsione è un parametro che indica il valore intorno al quale possa ragionevolmente verificarsi il numero aleatorio;

l'incertezza di previsione è un parametro che caratterizza la dispersione dei valori che possono essere ragionevolmente assunti dal numero casuale;

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per quanto concerne la definizione operativa di previsione, gli esempi hanno mostrato che né il valore più probabile (chiamato moda) né quello che divide i possibili valori della variabili in due classi ordinate di pari probabilità (chiamato mediana) si prestano a caratterizzare il concetto espresso;

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analogalmente, associare l'incertezza all'ampiezza dell'intervallo di valori che il numero aleatorio può assumere conduce a sovrastime dell'incertezza e ad una insensibilità dal tipo di distribuzione, sia per variabili definite su un'intervallo finito che infinito.

Inoltre:

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in analogia a parametri che caratterizzano le cosidette posizione e dispersione dei numeri aleatori, ce ne sono altre che misurano la forma della distribuzione in modo più dettagliato di quanto non possa fare l'incertezza di previsione (legata alla larghezza). Ad esempio, si può essere interessati al grado di asimmetria della distribuzione rispetto al suo centro (vedi paragrafo 6.13).