Distribuzione geometrica

Trattiamo prima la distribuzione geometrica, con un esempio che mette in luce alcuni aspetti intuitivi e altri aspetti controintuitivi legati alle distribuzioni di probabilità.

Esempio

Un ubriaco deve aprire la porta di casa al buio e ha un mazzo di 8 chiavi ``indistinguibili'' (o che sembrano tali a lui). Ammettiamo che, nel caso che egli non ci riesca in un tentativo, la concitazione e lo stato di annebbiamento gli impediscano di ricordare con quale chiave abbia provato e quindi si ritrovi nelle stesse condizioni nel tentativo successivo. Cerchiamo di rispondere a queste domande:

-

quanti tentativi si prevede che gli serviranno affinché riesca ad aprire la porta?

-

se si dovesse fare una scommessa alla pari per vincere (``non coerente'') su quale tentativo bisognerebbe puntare?

Esempi analoghi

Altri esempi schematizzabili nello stesso modo sono: la prima volta che viene testa nel lancio di una moneta ($p=1/2$); la prima volta che esce il 5 lanciando un dado ($p=1/6$) e la prima volta che esce un numero su una certa ruota del lotto ($p=1/18$).

È importante a confrontare fra loro i problemi appena proposti prima di provare a rispondere intuitivamente alle domande formulate a proposito del problema dell'ubriaco. Le risposte intuitive possono essere del tipo:

• ``passando, in ordine, dal problema della moneta per terminare a quello del lotto, bisogna considerare più tentativi prima di sperare ragionevolmente in un successo'';
• ``scommetterei intorno al 2$^\circ$ tentativo per la moneta, intorno all' $8^\circ$ per l'ubriaco e intorno al $18^\circ$ per il numero al lotto''.

Ricaviamoci la funzione di probabilità e confrontiamola con le risposte intuitive:

$$f(1) = P(E_1) = p$$

$$f(2) = P(\overline{E}_1)\cdot P(E_2\,\vert\,\overline{E}_1) = (1-p)\, p$$

$$f(3) = P(\overline{E}_1)\cdot P(\overline{E}_2\,\vert\,\overline{E}_1) \cdot P(E_3\,\vert\,\overline{E}_1\cap \overline{E}_2) = (1-p)^2 p$$

$$\cdots \cdots$$

$$f(x\,\vert\,{\cal G}_p) = (1-p)^{x-1} p \hspace{1.0 cm} \left\{ \begin{array}{l} 0 \le p \le 1 \\ x=1, 2, \ldots \infty \end{array}\right.$$ (6.20)

Questa distribuzione è chiamata geometrica in quanto la funzione di probabilità è caratterizzata da tale progressione. Verifichiamo, come esercizio, che la funzione di probabilità soddisfa alla condizione di normalizzazione. Infatti:

$$\sum_{x=1}^\infty f(x\,\vert\,{\cal G}_p) = \sum_{x=1}^\infty (1-p)^{x-1} \, p$$

$$= p\sum_{x=1}^\infty q^{x-1}$$

$$= p\, \frac{1}{1-q} = 1\,.$$ (6.21)

La funzione cumulativa $F(x)$ può essere ottenuta direttamente dalla definizione:

$$F(x\,\vert\,{\cal G}_p) \equiv P(X\le x) = 1 - P(X>x)$$

$$= 1 -P(\overline{E}_1\cap \overline{E}_2\cap \cdots \cap \overline{E}_x)$$

$$= 1 - (1-p)^x \ x=1, 2, \ldots\,$$ (6.22)

Essa vale 0 per $x<1$, mentre per i reali $>1$ ha il valore che assume in corrispondenza del numero intero immediatamente inferiore. Si vede che, come deve essere, per $x\rightarrow \infty$, $F(x)$ tende a 1. La figura 6.6 mostra la distribuzione geometrica per $p=1/2$ e $p=1/8$.

Figura: Distribuzione geometrica per $p$ uguale a 1/2 e a 1/8.

Per molti potrà essere una sorpresa scoprire che il massimo di probabilità è in corrispondenza di $x=1$, indipendentemente da $p$. Quindi la seconda domanda posta riguardo al problema dell'ubriaco è in un certo senso controintuitiva. Questo è dovuto ad una confusione fra ``il valore che ci aspettiamo'' e ``il valore più probabile''. In effetti, anche se si accetta il fatto che la prova alla quale si crede di più che si verifichi il successo sia la prima, e che, per avere l'assoluta certezza, bisogna considerare un infinito numero di prove, permane ancora l'idea che il successo è atteso prima nel caso di lancio di una moneta che in quello di singolo estratto al lotto. E in effetti questa volta l'intuizione è corretta, a parte quantificare meglio cosa si intende per previsione di un numero aleatorio.