Combinazione di molti processi di Bernoulli indipendenti e di uguale probabilità

Molto spesso si è interessati a eventi ``dello stesso tipo''<sup>6.7</sup>, ai quali assegnamo la stessa probabilità e che consideriamo stocasticamente indipendenti, ad esempio $E_i$ = ``testa all'$i$-mo lancio di una moneta'' (o, equivalentemente, ``...per l'$i$-ma moneta numerata'').

$$P(E_i) = p \ \forall i\,.$$ (6.19)

Considerando processi di Bernoulli indipendenti, si può essere interessati a due domande tipiche:

1. quante prove bisogna effettuare affinché si verifichi per la prima volta un successo? (Più esattamente: ``quanto vale la probabilità che il successo si verifichi per la prima volta alla prova $X$?'')
2. se si effettuano $n$ prove, quanto vale la probabilità che si verifichino $X$ successi?

Le due schematizzazioni corrispondono rispettivamente alle cosiddette distribuzioni geometrica e binomiale. Un altro problema che può avere un certo interesse, ma di minore rilevanza rispetto agli altri per le applicazioni che presenteremo in questo testo, è:

3.

quanto vale la probabilità che il $k$-mo successo si verifichi esattamente alla prova $X$?

Ad esso è associata la distribuzione di Pascal e, in modo complementare, la binomiale negativa.