Next: pzd100 Altre distribuzioni di
Up: Distribuzioni di probabilità di
Previous: pzd100 Formule ricorsive per
  Indice
Proprietà
riproduttiva delle distribuzioni
di probabilità binomiale e di Poisson
Una distribuzione di probabilità gode della
proprietà riproduttiva rispetto alla somma
se una variabile casuale costruita come somma
di altre variabili casuali, ognuna delle quali
è descritta da una certa
distribuzione, obbedisce alla stessa distribuzione.
Sia la binomiale che la poissoniana godono di tale
proprietà. Più esattamente:
- binomiale: Se , , ..., sono variabili casuali
indipendenti, ciascuna descritta da una distribuzione di probabilità
binomiale di parametri e
, la variabile casuale
segue ancora una
distribuzione di probabilità binomiale con parametri e
.
- poissoniana:
Se , , ..., sono variabili casuali
indipendenti, ciascuna descritta da una distribuzione di probabilità di
Poisson di parametro ,
la variabile casuale
segue ancora una
distribuzione di Poisson
con parametro
.
Queste proprietà possono essere dimostrate matematicamente.
È più istruttivo
dimostrarle invece ragionando sui fenomeni descritti da queste
distribuzioni.
Per il caso della binomiale, la proprietà
riproduttiva segue dal fatto che ciascuna
distribuzione è dovuta a processi di Bernoulli
indipendenti. Ne segue che gli
processi di
Bernoulli indipendenti e aventi la stessa
danno luogo ad una binomiale
di parametri e .
Ovviamente questo non richiede che i processi di Bernoulli
in questione siano legati allo stesso fenomeno.
Per quanto riguarda la distribuzione di Poisson è sufficiente
pensare ai conteggi effettuati in un certo intervallo (temporale
o spaziale, o entrambi, a seconda dei casi) di osservazione
come se fossero
dovuti alla somma dei conteggi effettuati in intervalli più piccoli.
Se la distribuzione è poissoniana nell'intervallo prescelto
a maggior ragione lo sarà per ciascuno degli intervalli
in cui è suddiviso e,
siccome il valore atteso del numero di conteggi è proporzionale
all'ampiezza dell'intervallo, la proprietà riproduttiva è dimostrata
per variabili casuali legate allo stesso fenomeno.
Next: pzd100 Altre distribuzioni di
Up: Distribuzioni di probabilità di
Previous: pzd100 Formule ricorsive per
  Indice
Giulio D'Agostini
2001-04-02