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$ {\bf\circlearrowright }$Proprietà riproduttiva delle distribuzioni di probabilità binomiale e di Poisson

Una distribuzione di probabilità gode della proprietà riproduttiva rispetto alla somma se una variabile casuale costruita come somma di altre variabili casuali, ognuna delle quali è descritta da una certa distribuzione, obbedisce alla stessa distribuzione. Sia la binomiale che la poissoniana godono di tale proprietà. Più esattamente:

Queste proprietà possono essere dimostrate matematicamente. È più istruttivo dimostrarle invece ragionando sui fenomeni descritti da queste distribuzioni.

Per il caso della binomiale, la proprietà riproduttiva segue dal fatto che ciascuna distribuzione è dovuta a $ n_i$ processi di Bernoulli indipendenti. Ne segue che gli $ n=\sum_i n_i$ processi di Bernoulli indipendenti e aventi la stessa $ p$ danno luogo ad una binomiale di parametri $ p$ e $ n$.

Ovviamente questo non richiede che i processi di Bernoulli in questione siano legati allo stesso fenomeno.

Per quanto riguarda la distribuzione di Poisson è sufficiente pensare ai conteggi effettuati in un certo intervallo (temporale o spaziale, o entrambi, a seconda dei casi) di osservazione come se fossero dovuti alla somma dei conteggi effettuati in intervalli più piccoli. Se la distribuzione è poissoniana nell'intervallo prescelto a maggior ragione lo sarà per ciascuno degli intervalli in cui è suddiviso e, siccome il valore atteso del numero di conteggi è proporzionale all'ampiezza dell'intervallo, la proprietà riproduttiva è dimostrata per variabili casuali legate allo stesso fenomeno.


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Giulio D'Agostini 2001-04-02