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pzd100 Formule ricorsive per la distribuzione binomiale e di Poisson

Nel calcolare i valori della distribuzione di probabilità di Poisson può essere utile far uso di una formula ricorsiva al fine di semplificare i calcoli. Infatti
$\displaystyle f(0\,\vert\,{\cal P}_\lambda)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{-\lambda}\,,$  
$\displaystyle f(1\,\vert\,{\cal P}_\lambda)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\lambda\, e^{-\lambda}}{1}
= \frac{\lambda}{1}\,
f(0\,\vert\,{\cal P}_\lambda)$  
$\displaystyle f(2\,\vert\,{\cal P}_\lambda)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\lambda^2\, e^{-\lambda}}{2}
= \frac{\lambda}{2}\,
f(1\,\vert\,{\cal P}_\lambda)$  
$\displaystyle \ldots$   $\displaystyle \ldots$  
$\displaystyle f(x\,\vert\,{\cal P}_\lambda)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\lambda}{x}\,
f(x-1\,\vert\,{\cal P}_\lambda) \,.$ (7.9)

Dalla formula ricorsiva si può facilmente vedere che $ f(x\,\vert\,{\cal P}_\lambda)$ è maggiore di $ f(x-1\,\vert\,{\cal P}_\lambda)$ finché $ \lambda/x$ è maggiore o uguale dell'unità. Ciò significa che $ f(x\,\vert\,{\cal P}_\lambda)$ ha un massimo in prossimità di $ x = \lambda$. Più esattamente, se $ \lambda $ è intero il fattore di riaggiornamento della (7.9) è pari a 1 in corrispondenza di $ x = \lambda$, ovvero $ f(x)=f(x-1)$. Quindi, per $ \lambda $ intero, la distribuzione assume il valore massimo in corrispondenza di $ x = \lambda$ e di $ x=\lambda-1$, come anche mostrato in figura 7.2 e in tabella 7.2.

Nel caso della distribuzione binomiale la formula ricorsiva non è semplice come per la poissoniana, ma può tornare utile, specie con l'ausilio di un computer, per il calcolo di grandi valori di $ n$:

$\displaystyle f(0\,\vert\,{\cal B}_{n,p})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle q^n\,,$  
       
$\displaystyle f(x\,\vert\,{\cal B}_{n,p})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{n-x+1}{x}\, \frac{p}{q}\,
f(x-1\,\vert\,{\cal B}_{n,p} )\,.$  


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Giulio D'Agostini 2001-04-02