Dal grado di fiducia alla probabilità finita

È invece finita la probabilità $P(a\leq X \leq b)$ che la variabile sia compresa in un certo intervallo. Se la distanza fra i punti $a$ e $b$ diventa infinitesima anche la probabilità sarà infinitesima.

Se tutti i valori di $X$ hanno lo stesso grado di fiducia (e - si noti bene! - non soltanto la stessa probabilità, $P(X=x)=0$), ovvero

$$f(x) = k\hspace{0.6 cm} \forall\, x\,,$$

la probabilità è proporzionale all'ampiezza dell'intervallo e non dipende dal valore particolare di $X$:

$$\Delta P \propto \Delta x\,.$$

Quando l'intervallo diventa infinitesimo

d$$P \propto$$   d$$x\,.$$

Nel caso generale ( $f(x)\neq k$) e considerando due punti in corrispondenza dei quali $f(x)$ è continua (almeno da una parte) si ha che il rapporto fra le probabilità infinitesime intorno a tali punti è proporzionale ai loro gradi di fiducia:

$$\frac{\mbox{d}P(x_1\le X\le x_1+\mbox{d}x)} {\mbox{d}P(x_2\le X\le x_2+\mbox{d}x)} = \frac{f(x_1)}{f(x_2)}\,,$$

ovvero

$$P \propto f(x)\, x\,.$$ (8.1)

Essendo i diversi valori di $X$ a due a due incompatibili, la probabilità su un intervallo finito è data dalla somma degli infiniti elementi di probabilità infinitesimi definiti dalla (8.1)

$$P(a \leq X \leq b)= \int_{a}^{b}\!f(x)\, x\, ,$$ (8.2)

avendo incluso il fattore di proporzionalità della (8.1) nella definizione di $f(x)$, ovvero l'elemento infinitesimo di probabilità è definito essere esattamente $f(x)\,$d$x$:

d$$P = f(x)\,$$d$$x\,.$$

Avendo definito l'elemento infinitesimo di probabilità, si ricavano tutte le altre proprietà delle distribuzioni di variabili continue da quelle discrete mediante le seguenti sostituzioni:

$$f(x_i) \longrightarrow f(x)\, x$$

$$\sum_i \longrightarrow \int_X\,.$$