Funzione densità di probabilità

È immediato calcolare la probabilità cumulativa, descritta dalla funzione di ripartizione (chiamata talvolta semplicemente integrale della funzione di probabilità o funzione integrale):

$$F(x) = P(X\leq x) = \int_{-\infty}^{x}\!f(z)\, z,$$ (8.3)

(analogamente al caso delle funzioni di distribuzione discrete, $f(x)$ vale 0 al di fuori del campo di definizione della variabile casuale).

Dalla (8.3) segue che

$$f(x) = \frac{\mbox{d}F(x)}{\mbox{d}x}\,.$$

Siccome $F(x)$ ha il significato di probabilità, $f(x)$ è una ``probabilità per unità di $X$'', da cui il nome di funzione densità di probabilità, talvolta indicata con p.d.f. (``probability density function''). Inoltre si vede come l'elemento infinitesimo di probabilità, prima chiamato d$P$, può essere anche indicato con d$F(x)=f(x)\,$d$x$.

Si noti anche come $f(x)$ non sia una grandezza adimensionale. Essendo $F(x)$ un numero puro, in quanto probabilità, ne segue che $f(x)$ ha le dimensioni inverse di quelle di $X$ (ad esempio cm$^{-1}$ nell'esempio precedente della caduta della pallina puntiforme).