Beta

$$f(x\,\vert\, (r,s))=\frac{1}{\beta(r,s)}x^{r-1}(1-x)^{s-1} \hspace{0.9cm}\left\{\!\begin{array}{l} 0\le x\le 1 \\ r,\,s > 0 \end{array}\right.$$ (8.36)

Il denominarore ha il ruolo di costante di normalizzazione, ovvero

$$\beta(r,s)=\int_0^1 x^{r-1}(1-x)^{s-1}\,$$d$$x\,.$$

Questa funzione speciale, denominata ``beta'' e che dà il nome alla distribuzione è calcolabile dalle Gamma di Eulero mediante la relazione

$$\beta(r,s) =\frac{\Gamma(r)\,\Gamma(s)}{\Gamma(r+s)}\,$$

ove, ricordiamo,

$$\Gamma(c)=\int_0^\infty x^{c-1}e^{-x}dx\,,$$

che per argomento $n$ intero vale

$$\Gamma(n+1)=n!$$

Figura: Esempi di distribuzioni Beta per vari valori di $r$ e $s$. I numeri in grassetto si riferiscono alle curve continue.

Valore atteso e varianza sono:

$$(X) = \frac{r}{r+s}$$ (8.37)

$$(X) = \frac{rs}{(r+s+1)(r+s)^2}$$ (8.38)

Se $r>1$ e $s>1$ la moda è unica e vale $(r-1)/(r+s-2)$. La figura 8.14 mostra come la distribuzione beta possa assumere una ricca varietà di forme e quindi si presta a modellizzare bene un certo numero di problemi. In particolare, per $r=s=1$ la distribuzione si riduce ad una distribuzione uniforme. Si noti la somiglianza formale della (8.36), a meno del fattore di normalizzazione, con l'espressione della distribuzione binomiale, a meno del coefficiente binomiale. Vedremo infatti come utilizzare tale proprietà formale per semplificare un classico problema infernziale (vedi paragrafo 12.3).