Introduzione

Il problema dell'inferenza probabilistica è stato ampiamente discusso nel capitolo . In particolare, partendo da esempi intuitivi, è stata illustrata la potenza del teorema di Bayes per riaggiornare la probabilità di ipotesi alla luce di nuovi fatti. Successivamente, abbiamo visto, rispettivamente nei paragrafi 7.16 e 9.3.3, come il teorema di Bayes si applicchi sia a funzioni di probabilità che a funzioni di densità di probabilità. Siccome in questa parte ci occuperemo essenzialmente di grandezze il cui valore può assumere valori con continuità, faremo uso della formula (9.12), che riscriviamo qui nel seguente modo

$$f(\mu\,\vert\, ,\,I) \propto f( \,\vert\,\mu,\,I)\cdot f_\circ(\mu\,\vert\,I)\,,$$ (11.1)

avendo indicato con $\mu$ il valore vero della grandezza che vogliamo inferire, con `dati' i valori osservati e avendo omesso l'inessenziale fattore di normalizzazione (come ampiamente discusso nel capitolo ). La condizione di sfondo $I$ tiene conto della globalità del nostro stato di informazione sulla misura (grandezza da misurare, comportamento degli apparati e delle procedure, condizioni ambientali, etc.). Come discusso nell'introduzione alle variabili casuali (paragrafo , in particolare gli ultimi due punti), nell'impostazione seguita in questo testo osservazioni e valori veri giocano un ruolo simmetrico.

• Posso affermare quanto credo all'osservazione di certi dati sperimenatali, subordinatamente ad ogni ipotesi di valore vero e delle condizioni sperimentali, ossia esplicito la mia verosimiglianza $f($dati$\,\vert\,\mu\,I)$. E in questo caso sono i valori dei dati ad essere numeri incerti.
• Posso affermare quanto credo ai possibili valori di $\mu$, subordinatamente all'osservazione di certi valori dei dati. In questo caso è il valore vero $\mu$ ad essere un numero incerto, mentre i dati sperimentali sono per definizione certi, in quanto `dati'.^11.1 Il risultato dell'esperimento sarà quindi della forma $f(\mu\,\vert\,$dati$,\,I)$, dove con $I$ sono state indicate, ripetiamo, tutte le informazioni di contorno su grandezza da misurare, strumenti di misura e fattori di influenza.

Lo schema generale di inferenza è illustrato in figura 11.1

Figura: Schema generale del modello modello inferenziale basato sulla probabilità condizionata. L'asse delle $x$ rappresenta il mondo reale delle osservazioni. L'asse dei $\mu$ rappresenta invece i possibili valori dei parametri della teoria, che, come tali, non si manifestano direttamente ai nostri sensi.

L'importanza concettuale della prior $f_\circ(\mu\,\vert\,I)$ è stato discusso nel capitolo e verrà ripreso nel seguito, mostrando come sia praticamente irrilevante nei casi di routine. Si ricorda, infine, che il ruolo della verosimiglianza è quello di modificare il grado di fiducia in ciascun valore di $\mu$, come ovvio dalla formula (11.1).

Il resto del capitolo consisterà nell'applicazione sistematica della formula (11.1) a diverse situazioni che si verificano frequentemente nella pratica di laboratorio. La condizione di contorno $I$ verrà in genere sottintesa, a meno che non la si voglia esplicitare per tenere conto dell'incertezza su grandezze di influenza (i cosiddetti effetti sistematici).

Vedremo anche come usare delle approssimazioni per semplicare i conti nei semplici casi di routine.