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Vediamo ora cosa succede se si sceglie una posizione
di assoluta indifferenza sugli ordini di grandezza di ,
posizione assurda quanto quella precedente,
ma se non altro un po' più ragionevole della precedente e
con il vantaggio pratico di smorzare un po' gli eccessivamente
grandi valori di responsabili delle divergenze.
Assumere che
è equivalente
a
. Inserendo questa prior nei conti
precedenti, l'effetto è di diminuire di 1 la potenza di
nell'integrando. L'effetto sulla è che la potenza
dell'espressione finale diventa anziché .
Di consequenza, abbiamo ancora una di Student,
ma con e nella variabile
, da cui:
|
|
Student |
(11.78) |
E |
|
|
(11.79) |
|
|
|
(11.80) |
Per piccoli
questo modello produce una incertezza su
minore di quella del modello precedente, ma anche questa
è da considerarsi molto conservativa (e quindi non coerente!)
perché usa una prior su irragionevole per
qualsiasi applicazione pratica. Quando aumenta abbiamo
una più rapida convergenza al modello normale in quanto
l'osservazione ``solida'' di esclude valori troppo
fantasiosi per .
Tabella:
Semiampiezza in unità di
dell'intervallo intorno
al valore medio tale che racchiuda con probabilità
il valore vero di . Nel caso di ignota la probabilità dipende
dalla prior . Per confronto è riportato il caso limite
gaussiano nell'ipotesi che sia esattamente uguale
a quella osservata.
|
|
|
|
|
|
|
|
0.58 |
2.06 |
3.04 |
7.03 |
|
|
0.44 |
1.36 |
1.83 |
3.38 |
|
Normale |
0.34 |
0.82 |
0.98 |
1.29 |
|
|
0.37 |
1.07 |
1.40 |
2.30 |
|
|
0.33 |
0.90 |
1.15 |
1.81 |
|
Normale |
0.28 |
0.67 |
0.80 |
1.05 |
|
|
0.29 |
0.79 |
1.00 |
1.52 |
|
|
0.27 |
0.72 |
0.90 |
1.32 |
|
Normale |
0.24 |
0.58 |
0.69 |
0.92 |
|
|
0.25 |
0.66 |
0.82 |
1.20 |
|
|
0.23 |
0.61 |
0.75 |
1.09 |
|
Normale |
0.21 |
0.52 |
0.62 |
0.82 |
|
|
0.16 |
0.41 |
0.49 |
0.68 |
|
|
0.16 |
0.40 |
0.48 |
0.66 |
|
Normale |
0.15 |
0.37 |
0.44 |
0.58 |
|
|
0.10 |
0.24 |
0.29 |
0.39 |
|
|
0.10 |
0.24 |
0.29 |
0.38 |
|
Normale |
0.10 |
0.23 |
0.28 |
0.36 |
|
|
0.07 |
0.17 |
0.20 |
0.26 |
|
|
0.07 |
0.17 |
0.20 |
0.26 |
|
Normale |
0.07 |
0.16 |
0.20 |
0.26 |
|
Per un confronto quantitativo fra i diversi modelli, riportiamo
in tabella 11.1 i valori del semiampiezza ,
in unità di , tale che
sia uguale al 50%, al 90%, a; 95% e al 99%.
Ad esempio, con osservazioni dalle quali abbiamo ricavato
e , abbiamo:
,
e così via. Per i ragionamenti fatti sull'eccessiva prudenza
di entrambi i modelli matematicamente abbordabili, si possono
considerare valori ragionevoli per quelli
circa intermedi fra il modello
e
quello normale in cui si assume . in questo esempio
avremmo:
.
Come si vede, tenendo conto degli arrotondamenti con i quali
si forniscono le incertezze, già con possiamo
considerarci in approssimazione normale, a meno di non essere
interessati a valori molto lontani da dove si concentra la
massa di probabilità.
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Giulio D'Agostini
2001-04-02