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Prior uniforme in $ \log{\sigma}$

Vediamo ora cosa succede se si sceglie una posizione di assoluta indifferenza sugli ordini di grandezza di $ \sigma $, posizione assurda quanto quella precedente, ma se non altro un po' più ragionevole della precedente e con il vantaggio pratico di smorzare un po' gli eccessivamente grandi valori di $ \sigma $ responsabili delle divergenze.

Assumere che $ f_\circ(\ln{\sigma})=k$ è equivalente a $ f_\circ(\sigma)=1/\sigma$. Inserendo questa prior nei conti precedenti, l'effetto è di diminuire di 1 la potenza di $ \sigma $ nell'integrando. L'effetto sulla $ f(\mu)$ è che la potenza dell'espressione finale diventa $ -n/2$ anziché $ -(n-1)/2$. Di consequenza, abbiamo ancora una $ t$ di Student, ma con $ \nu=n-1$ e nella variabile $ (\mu-\overline{x})/(s/\sqrt{n-1})$, da cui:

$\displaystyle \frac{\mu-\overline{x}}{s/\sqrt{n-1}}$ $\displaystyle \sim$ Student$\displaystyle (\nu=n-1)$ (11.78)
E$\displaystyle (\mu)$ $\displaystyle \stackrel{(n>2)}{=}$ $\displaystyle \overline{x}$ (11.79)
$\displaystyle \sigma(\mu)$ $\displaystyle \stackrel{(n>3)}{=}$ $\displaystyle \frac{s}{\sqrt{n-3}}\,.$ (11.80)

Per $ n$ piccoli questo modello produce una incertezza su $ \mu $ minore di quella del modello precedente, ma anche questa è da considerarsi molto conservativa (e quindi non coerente!) perché usa una prior su $ \sigma $ irragionevole per qualsiasi applicazione pratica. Quando $ n$ aumenta abbiamo una più rapida convergenza al modello normale in quanto l'osservazione ``solida'' di $ s$ esclude valori troppo fantasiosi per $ \sigma $.


Tabella: Semiampiezza in unità di $ s$ $ \Delta $ dell'intervallo intorno al valore medio tale che racchiuda con probabilità $ P_{xx}\%$ il valore vero di $ \mu $. Nel caso di $ \sigma $ ignota la probabilità dipende dalla prior $ f(\sigma )$. Per confronto è riportato il caso limite gaussiano nell'ipotesi che $ \sigma $ sia esattamente uguale a quella osservata.
    $ P_{50\%}$ $ P_{90\%}$ $ P_{95\%}$ $ P_{99\%}$
  $ f(\sigma)=k$ 0.58 2.06 3.04 7.03
$ n=4$ $ f(\ln \sigma)=k$ 0.44 1.36 1.83 3.38
  Normale $ \sigma=s$ 0.34 0.82 0.98 1.29
  $ f(\sigma)=k$ 0.37 1.07 1.40 2.30
$ n=6$ $ f(\ln \sigma)=k$ 0.33 0.90 1.15 1.81
  Normale $ \sigma=s$ 0.28 0.67 0.80 1.05
  $ f(\sigma)=k$ 0.29 0.79 1.00 1.52
$ n=8$ $ f(\ln \sigma)=k$ 0.27 0.72 0.90 1.32
  Normale $ \sigma=s$ 0.24 0.58 0.69 0.92
  $ f(\sigma)=k$ 0.25 0.66 0.82 1.20
$ n=10$ $ f(\ln \sigma)=k$ 0.23 0.61 0.75 1.09
  Normale $ \sigma=s$ 0.21 0.52 0.62 0.82
  $ f(\sigma)=k$ 0.16 0.41 0.49 0.68
$ n=20$ $ f(\ln \sigma)=k$ 0.16 0.40 0.48 0.66
  Normale $ \sigma=s$ 0.15 0.37 0.44 0.58
  $ f(\sigma)=k$ 0.10 0.24 0.29 0.39
$ n=50$ $ f(\ln \sigma)=k$ 0.10 0.24 0.29 0.38
  Normale $ \sigma=s$ 0.10 0.23 0.28 0.36
  $ f(\sigma)=k$ 0.07 0.17 0.20 0.26
$ n=100$ $ f(\ln \sigma)=k$ 0.07 0.17 0.20 0.26
  Normale $ \sigma=s$ 0.07 0.16 0.20 0.26


Per un confronto quantitativo fra i diversi modelli, riportiamo in tabella 11.1 i valori del semiampiezza $ \Delta $, in unità di $ s$, tale che $ P(\overline{x}-\Delta\le\mu
\le\overline{x}+\Delta)$ sia uguale al 50%, al 90%, a; 95% e al 99%. Ad esempio, con $ n=10$ osservazioni dalle quali abbiamo ricavato $ \overline{x}$ e $ s$, abbiamo: $ P(\overline{x}-0.66\,s\le\mu
\le\overline{x}+0.66\,s\,\vert\,f_\circ(\sigma)=k)=90\%$, $ P(\overline{x}-0.61\,s\le\mu
\le\overline{x}+0.61\,s\,\vert\,f_\circ(\ln \sigma)=k)=90\%$ e così via. Per i ragionamenti fatti sull'eccessiva prudenza di entrambi i modelli matematicamente abbordabili, si possono considerare valori ragionevoli per $ \Delta $ quelli circa intermedi fra il modello $ f_\circ(\ln \sigma)=k$ e quello normale in cui si assume $ \sigma=s$. in questo esempio avremmo: $ P(\overline{x}-\approx 0.57\,s\le\mu
\le\overline{x}+\approx 0.57\,s\,\vert\,f_\circ(\ln \sigma)=k)=90\%$. Come si vede, tenendo conto degli arrotondamenti con i quali si forniscono le incertezze, già con $ n=10$ possiamo considerarci in approssimazione normale, a meno di non essere interessati a valori molto lontani da dove si concentra la massa di probabilità.
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Giulio D'Agostini 2001-04-02