Capitolo 2

1. $P(E_1)=P(E_2)=1/4$, $P(E_3)=1/2$ e non $P(E_1)=P(E_2)=P(E_3)=1/3$.
2. $1/36$.
3. $2/36=1/18$.
4. $(1/2)^{10} = 1/1024 \approx 0.1\,\%$.
5. La probabilità di aprire le valigie al primo tentativo è la stessa in quanto bisogna indovinare tutte le cifre: $(1/10)^6$, ovvero un milionesimo. Le cose cambiano effettuando più tentativi. Nella valigia con una sola serratura si ha la certezza soltanto con un milione di tentativi, mentre per l'altra ne sono sufficienti 2000.
6. Stessa probabilità: $(1/3)^{12}=1/531441 \approx 1.88\times 10^{-6}$.
7. $(1/106)^{20} = 3.1\times 10^{-41}$. Per confronto si pensi che il nostro universo esiste da circa $5\times 10^{17}\, s$!
8. Anche se il numero di triplette è lo stesso, esse non sono tutte equiprobabili: $P(11) = 27/216$, $P(12) = 25/216$.
9. $p=(\pi a^2/4)/a^2=\pi/4$.
10. I dati non mostrano chiari segni di aumento o diminuzione della frequenza. In mancanza di ulteriori informazioni si può ragionevolmente assegnare una probabilità costante all'evento (vedremo nel seguito dei criteri per valutare più quantitativamente questa ipotesi). Ne segue che $p\approx 20370/21896\approx 93.0\,\%$.
11. I dati mostrano una crescita abbastanza lineare della frequenza con il passare degli anni (riportare ad esempio i dati su un foglio a quadretti). Si può quindi stimare per l'anno successivo una probabilità di circa $1.8\,\%$ (tracciare una retta ad occhio fra i punti).
12. Il fatto che la frequenza indichi il 100% di pioggia non influenza il grado di fiducia sul bel tempo il giorno dopo, basato su fatti molto più contingenti. (Ben altra sarebbe la situazione se negli anni precedenti avesse piovuto spesso contro ogni previsione meteorologica...!)
13. Con questo stato di informazione: $P(1) > P(X) > P(2)$ (per ulteriori raffinamenti bisogna sapere chi gioca ed essere esperti di calcio).
14. $P(1) > P(X) > P(2)$.
15. L'informazione è irrilevante.
16. Se la Tua risposta è ``$63.5\,\%$'' c'è un'altissima probabilità che non Tu abbia capito niente del concetto di probabilità. Questa non è semplicemente ``la frequenza'', ma dipende dallo stato di informazione riguardante l'evento in questione (``hai studiato?'', ``ti senti sicuro?'', etc.). Eventualmente il $63.5\,\%$ è la valutazione della probabilità che può dare l'esaminatore se è in mancanza di ulteriori informazioni sullo studente (ad esempio la probabilità che il $15^\circ$ studente dei 30 prenotati sia promosso, a patto di non sapere nemmeno il nome dello studente).
17. Chiaramente non si può dire 100% e 0. Immetteresti sul mercato il primo farmaco, o scoraggeresti la sperimentazione del secondo, con queste informazioni?
18. 1. Lo spazio degli eventi (indicato da qui in poi con $\Omega$) è
       $\Omega = \{(G,g), (G,g), (G,g), (G,g) \}$, con tutti gli elementi equiprobabili. Si ha quindi con certezza il genotipo $(G,g)$, da cui il carattere giallo.
    2. Combinando $(G,g)$ con $(G,g)$ si ottiene
       $\Omega = \{(G,G), (G,g), (g,G), (g,g) \}$,
       da cui $P($``giallo''$) = 3/4$.
    3. Combinando $(G,g)$ con $(g,g)$ si ottiene
       $\Omega = \{(G,g), (G,g), (g,g), (g,g) \}$.,
       da cui $P($``giallo''$) = 1/2$.
    4. $P($``verde''$) = 1/2$.
    5. $3^a$ generazione: combiniamo $\{(G,G), (G,g), (g,G)\}$ con sé stesso. Per comodità riscriviamo lo spazio delle possibilità $\{(G,G), 2\cdot (G,g)\}$, in quanto $(G,g)$ e $(g,G)$ sono indistiguibili. Il nuovo spazio degli incroci è costituito da:
       $\{(G,G)\cdot (G,G), 4\cdot (G,G)\cdot (G,g), 4\cdot (G,g)(G,g)\}$. Si hanno quindi in totale 36 coppie di geni di cui 16 del tipo $(G,G)$, 16 del tipo $(G,g)$ e soltanto 4 del tipo $(g,g)$:
       $P($``Giallo omozigota''$) = 4/9$,
       $P($``Giallo eterozigota''$) = 4/9$,
       $P($``Verde''$) = 1/9$.
       $4^a$ generazione: I gialli della $3^a$ generazione selezionati erano con pari probabilità omo- e etero-zigoti, quindi combinando $\{(GG), (Gg)\}$ con sé stessi otteniamo $\{(GG)\cdot (GG), 2\cdot (GG)\cdot (Gg), (Gg)\cdot (Gg)\}$. Delle 16 possibilità, 9 danno luogo a $(GG)$, 6 a $(Gg)$ e una sola a $(g,g)$:
       $P($``Giallo omozigota''$) = 9/16$,
       $P($``Verde''$) = 1/16$.
       $5^a$ generazione: Dei gialli della $4^a$ generazione selezionati i $9/15$ erano $(G,G)$ e i $6/15$ erano $(Gg)$. Si può quindi pensare di combinare 9 $(G,G)$ con 6 $(Gg)$. Delle 900 possibilità ce ne sono 576 $(GG)$ e solo 36 $(gg)$:
       $P($``Giallo omozigota''$) = 16/25$,
       $P($``Verde''$) = 1/25$.
       Da questi esempi si deduce una regola generale valida quando, incrociando due individui provenienti da linee pure, una con allele dominante e l'altra con allele recessivo, si lasciano incrociare nel seguito soltanto gli individui che presentano il carattere dominante:
       $P($Carattere recessivo$) = 1/n^2$;
       $P($Omozigote dominante$) = (n-1)^2/n^2$.
       Per avere piante che diano almeno al $99.9\,\%$ semi gialli bisogna arrivare a 32 generazioni.
19. 1. 0;
    2. 1/2;
    3. Si può seguire la percentuale delle caratteristiche al succedersi delle generazioni con la tabella 16.1, dove sono indicate le frequenza dei geni e le probabilità, ottenute normalizzando al numero totale di coppie di geni in ciascuna generazione:

       
       

       Tabella 16.1: Evoluzione dello spazio delle possibilità dei geni $R$ e $r$ (vedi testo).

       gen.	Rosso	Roano			Bianco
       0			$Rr$
       			(1)
       		$RR$	$2\cdot Rr$	$rr$
       1	RR		$2\cdot Rr$		rr
       	(1/4)		(1/2)		(1/4)
       	$4\cdot RR$	$2\cdot RR$	$4\cdot Rr$	$2\cdot rr$	$4\cdot rr$
       2	$6\cdot RR$		$4\cdot Rr$		$6\cdot rr$
       	(3/8)		(1/4)		(3/8)
       	$24\cdot RR$	$4\cdot RR$	$8\cdot Rr$	$4\cdot rr$	$24\cdot rr$
       3	$28\cdot RR$		$8\cdot Rr$		$28\cdot rr$
       	(7/16)		(1/8)		(7/16)
       	$\ldots$		$\ldots$		$\ldots$

       
       

       La frazione di roani va come $1/2^n$ in funzione del numero di generazione. Questo sistema di incroci, nel caso di non dominanza, tende a selezionare individui omozigoti.

20. $P(F) = 44.9\,\%$; $P(F\,\vert\,S) = 38.5\,\%$; $P(S\,\vert\,M)= 53.3\,\%$.
21. Sì , le probabilità sono diverse. Per la rossa, la bionda e la mora esse valgono rispettivamente 1/4, 1/3 e 1/2 (si pensi allo spazio delle possibilità del sesso dei figli, ordinati in età, e a come tale spazio viene ristretto dalle informazioni relative a ciascuna signora).
22. 12%; 44%; 27%.
    In questi casi conviene fare una tabellina del tipo
    
    
    

    	fum	$\overline{\mbox{\it fum}}$	fum$+ \overline{\mbox{\it fum}}$
    $M$	120	480	600
    $F$	320	80	400
    $M+F$	440	560	1000

23. Tirando a caso conviene puntare sul pari ($52\,\%$ di probabilità di vincere).
    In realtà, l'avversario ha il $60\,\%$ di probabilità di tirare dispari. Tirando pari e scommettendo sul dispari (o viceversa) si raggiunge una probabilità di vincita del $60\,\%$.
24. Chiaramente la scelta è indifferente.
25. L'offerta è ora conveniente (P=2/3). Si pensi all'offerta equivalente di poter scegliere fra la propria scatola e le altre due quando tutte le scatole sono ancora chiuse.
26. 2000.
27. $A$ è favorito.
    Dalle quote di scommessa si calcolano $P(A)=4/9$ e $P(B)=2/9)$, con coerenti in quanto $P(A)+P(B)<1$ (l'allibratore fa il suo lavoro e non beneficenza).
    Rispettivamente 4/3 e 4 volte la puntata.
28. Gli si propone di scommettere 8000 contro 2000 (lire) su Testa. Nel secondo caso gli si propone di scommettere 7000 contro 3000 su Croce.
29. Probabilità della singola vincita: $p_\circ = 3.33\times 10^{-8}$. $M = p_\circ \times 6^\cdot000^\cdot000^\cdot000 + p_\circ \times 3^.000^.000^.000 + \cdots$ $\hspace{0.4 cm} + p_\circ \times ( 102 \times 250^\cdot000^\cdot000 ) + p_\circ \times ( 252 \times 50^\cdot 000^\cdot 000 )$.
    $$\frac{M}{\mbox{Puntata}} = \frac{\mbox{Monte premi}} {\mbox{(costo\ biglietto)$\cdot$(numero\ biglietti)}} = 0.363$$

30. $P($Controllo in un mese$) \approx 0.25$;
    Speranza matematica: $0.25\times 60000 = 15000\, lire$, molto inferiore al costo dell'abbonamento. Il ragazzo potrebbe preferire di rischiare.
31. Il criterio è chiaramente di suddividere la posta in parti proporzionali alle rispettive probabilità di vittoria all'istante dell'interruzione. Il numero massimo di partite che sarebbero occorse per il termine del gioco è 4. Il numero delle possibili sequenze di vincita/perdita dei due giocatori nelle quattro partite è pari a 16 e, per l'ipotesi che i giocatori sono di pari abilità, sono tutte equiprobabili. Analizzando le sequenze si trova: $P(A)=11/16$ e $P(B)=5/16$.
32. Chiamando $x$ la distanza dal centro dell'ago con la linea più vicina e $\phi$ l'angolo formato fra ago e linea, i possibili valori di $x$ e di $\phi$ sono quelli del quadrato di dimensioni $\pi d$. La condizione di toccare è verificata se il centro dell'ago dista meno di $a\sin\phi$ dalla linea (vedi figura 16.6). Quindi $P=2\,a/(\pi d)$.

    Figura: Spazio delle possibilità per l'esperimento dell'ago di Buffon.

    

33. La risposta dipende dall'ipotesi di come sono state preparate le scatole. Se sono state prese due palline a caso da una grande scatola che conteneva entrambi i colori in egual numero la probabilità vale 1/4. Se invece erano state preparate tre scatole di cui due con colori uguali e una con colori diversi la probabilità vale 1/3.
34. Ovviamente la risposta dipende dalla conoscenza di chi ha preparato le buste: fra compagni di classe $100^\cdot000$ potrebbero rappresentare l'importo più alto, mentre per una trasmissione televisiva potrebbe essere il contrario. Il paradosso nasce dal fatto che se si considerano i due importi equiprobabili il valore atteso di guadagno in caso di scambio sarebbe (chiamando $v$ il valore dell'assegno) $G = -v + 1/2\times (10\,v) + 1/2\times (v/10)= 4.05 v$. Ma siccome questo ragionamento può essere fatto prima ancora di aprire la busta, sembrerebbe che convenga cambiare sempre!
35. Se si è in condizione di incertezza vuol dire che la previsione di guadagno è nulla. Considerando un importo unitario sulla prima busta si ha: $-1+p\cdot f+(1-p)/f=0$. Ne segue che $p=1/(1+f)$. Nel nostro caso: $9\,\%$.
36. Si tiene le 10000 lire!
37. La previsione di guadagno in funzione di $\epsilon$ è
    I$$$$P$$(G(\epsilon)) = -p\left[1-(p+\epsilon)\right]^2 - (1-p)\left[p+e\right]^2 =$$   I$$$$P$$(G(0))-\epsilon^2\,.$$
    Conviene non bluffare ( $\epsilon=0$).
38. In questo caso la previsione di guadagno è
    I$$$$P$$(G(\epsilon)) = -p\left[1-(p+\epsilon)\right] - (1-p)\left[p+e\right] =$$   I$$$$P$$(G(0))-\epsilon(1-2p)\,.$$
    Se $p=0.5$ la penalizzazione è indifferente da quanto si dichiara. Se è $>0.5$ o $<0.5$ conviene dichiarare rispettivamente di più o di meno (possibilmente 1 o 0). Quindi non è una penalizzazione atta ad addestrare le persone.
39. La probabilità ottenuta dal rapporto di aree è una estensione della ``definizione'' classica per infiniti eventi (i punti del piano) ciascuno di probabilità nulla. Questo argomento sarà ripreso più rigorosamente nella seconda parte del testo.