Come esercizio sull'algebra degli eventi dimostriamo
le proprietà descritte nel paragrafo precedente (con la stessa numerazione
progressiva).
ed
sono incompatibili e la loro unione vale .
Ne segue:
Un qualsiasi evento può essere scritto in generale come
(4.11)
in quanto esso può essere vero sia quando è vero anche
che quando è falso.
Poiché è stato suddiviso in due
eventi fra loro incompatibili si ha:
(4.12)
Si riparte dalla (4.11)
osservando che, se
implica , quando è vero
è vero anche . Si ottiene in questo caso:
(4.13)
(provare a visualizzare con un diagramma di Venn: à costituito
da tutti i punti di più quelli non di ma che appartengono a ).
Essendo e
eventi incompatibili
si ha
(4.14)
in quanto
è non negativa per la prima
regola della probabilità.
L'unione logica di due eventi e può essere espressa come
unione logica di
tre eventi fra loro incompatibili:
(4.15)
ossia
è vero quando è vero soltanto uno di essi oppure
sono veri entrambi.
Tenendo conto anche della
proprietà 2 applicata a ciascuno
dei due eventi relativamente all'altro, ossia
si ottiene
Sottraendo membro a membro le ultime due equazioni dalla prima si
arriva alla relazione da provare.