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Classificazione di eventi e rapporto segnale rumore

Figura: Schematizzazione in termini induttivi e deduttivi del problema dell'identificazione di particelle con strumento non ideale. Lo spessore delle freccie indica le direzioni favorite dei processi di deduzione e di induzione in questo esempio.
\begin{figure}\centering\epsfig{file=fig/dago58.eps,clip=,width=9cm}\end{figure}

Supponiamo che un rivelatore abbia un'efficienza di identificazione delle particelle $ \mu $ del 95% e una probabilità di confondere una particella $ \pi$ per un $ \mu $ del 2%. Se una particella viene identificata come $ \mu $ si accende una lampadina ($ L$). Conoscendo che le particelle del fascio contengono il 10% di $ \mu $ e il 90% di $ \pi$:
-
quanto vale la probabilità che, se si accende la lampadina, sia passato un $ \mu $?
-
quanto vale la probabilità che, se non si accende la lampadina, sia passato un $ \pi$?
-
Quanto vale il rapporto segnale rumore ($ S/N$)? (Definiamo $ S/N$ come probabilità di $ \mu $ diviso probabilità di $ \pi$ se si è accesa la lampadina, considerando la particella $ \mu $ come ``segnale'', ovvero il fenomeno di interesse.)
-
Come cambiano i risultati se si pongono sul fascio due contatori aventi le stesse caratteristiche e funzionanti indipendentemente?

Schematizziamo, con il formalismo delle probabilità condizionate, le informazioni che abbiamo a disposizione e le domande a cui vogliamo rispondere (vedi figura 5.5).

$ P(L\,\vert\,\mu) = 0.95$
è la probabilità che si accenda la lampadina se l'ipotesi ``$ \mu $'' è vera, ossia se passa una vera particella $ \mu $. Essa viene stimata attraverso la frequenza relativa con la quale si accende la lampadina quando il rivelatore viene esposto ad un fascio ``di soli $ \mu $'' (ammettiamo che sia possibile). L'uso del valore di frequenza relativa implica che
-
le proprietà dei $ \mu $ non cambiano con il tempo (e questo è pacifico);
-
il rivelatore e l'elettronica si comporteranno durante l'esperimento esattamente come si erano comportati durante il test (e questo può essere questionabile, ma assumiamo che sia vero).
$ P(\overline{L}\,\vert\,\mu) = 0.05$
è la probabilità dell'evento complementare;
$ P(L\,\vert\,\pi) = 0.02$
è la probabilità che la lampadina si accenda ``per errore'', nel senso che assumiamo che il rivelatore sia stato progettato per identificare i $ \mu $ e quindi uno strumento perfetto darebbe5.3 $ P(L\,\vert\,\mu)=1$ e $ P(L\,\vert\,\pi)=0$.
$ P(\overline{L}\,\vert\,\pi) = 0.98$
, complementare a $ P(L\,\vert\,\pi)$. Lo strumento ideale darebbe $ P(\overline{L}\,\vert\,\pi) = 1$. Anche per questo dato valgono le note a proposito di $ P(L\,\vert\,\mu)$.
$ P_\circ(\mu) = 0.10$
è la probabilità iniziale che una particella che arrivi al rivelatore sia un $ \mu $ in assenza dell'informazione che la lampadina si sia accesa o no. $ P_\circ(\mu)$ sta per $ P(\mu\,\vert\,H_\circ)$, dove $ H_\circ $ include tutta l'informazione sulla composizione del fascio.
$ P_\circ(\pi) = 0.90$:
probabilità iniziale dell'evento $ \pi$. La somma $ P_\circ(\mu)+P_\circ(\pi)$ deve dare 1, in quanto gli eventi $ \mu $ e $ \pi$ formano una classe completa di ipotesi rispetto a questo problema e sono relativi allo stesso stato di informazione $ H_\circ $.
$ P(\mu\,\vert\,L)$:
è la probabilità che la particella abbia attraversato il rivelatore sia un $ \mu $ se la lampadina si è accesa. La complementare ad essa sarà $ P(\pi\,\vert\,L)$.
Chiaramente ci sono tutte le condizioni di applicabilità del teorema di Bayes. Ne segue:
$\displaystyle P(\mu\,\vert\,L)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{P(L\,\vert\,\mu)\cdot P_\circ(\mu)}
{P(L\,\vert\,\mu)\cdot P_\circ(\mu) + P(L\,\vert\,\pi)\cdot P_\circ(\pi)}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{0.95\times 0.1}{0.95\times 0.1 + 0.02\times 0.9}=0.84$  
$\displaystyle P(\pi\,\vert\,L)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1-P(\mu\,\vert\,L) = 0.16$  
$\displaystyle P(\mu\,\vert\,\overline{L})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{P(\overline{L}\,\vert\,\mu)\cdot P_\circ(\mu)}
{P(\overline...
...,\vert\,\mu)\cdot P_\circ(\mu) +
P(\overline{L}\,\vert\,\pi)\cdot P_\circ(\pi)}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{0.05\times 0.1}{0.05\times 0.1 + 0.98\times 0.9}=0.0056$  
$\displaystyle P(\pi\,\vert\,\overline{L})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1- P(\mu\,\vert\,\overline{L}) = 0.994\,.$  

Siamo più sicuri che quando non si accende la luce sia passato un $ \pi$ di quanto non lo siamo quando identifichiamo un $ \mu $ nel caso contrario. Per capirne il motivo studiamo il rapporto segnale rumore nei due casi:
$\displaystyle S/N (\mu/\pi) =
\frac{P(\mu\,\vert\,L)}{P(\pi\,\vert\,L)}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{P(L\,\vert\,\mu)}{P(L\,\vert\,\pi)}\cdot
\frac{P_\circ(\mu)}{P_\circ(\pi)}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 47.5\times \frac{1}{9} = 5.3$  
$\displaystyle S/N (\pi/\mu) =
\frac{P(\pi\,\vert\,\overline{L})}{P(\mu\,\vert\,\overline{L})}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{P(\overline{L}\,\vert\,\pi)}{P(\overline{L}\,\vert\,\mu)}\cdot
\frac{P_\circ(\pi)}{P_\circ(\mu)}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 19.6 \times 9 = 176\,.$  

La migliore prestazione nella separazione dei $ \pi$ dai $ \mu $ non è quindi dovuta alle caratteristiche del rivelatore, bensì alla composizione del fascio.

Questo ci insegna che quando le condizioni sono di alto rumore

$\displaystyle P_\circ(S) \ll P_\circ(N)$ (5.18)

l'esperimento deve essere molto selettivo:

$\displaystyle P(E\,\vert\,S) \gg P(E\,\vert\,N)\,,$ (5.19)

dove $ S$, $ N$ e $ E$ indicano genericamente segnale, rumore (inglese ``noise'') e esito.
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Giulio D'Agostini 2001-04-02