Esercizio 63
Si consideri un esperimento di Young effettuato con luce arancione di lunghezza d’onda $\lambda_1 = 610$ nm. Il sistema di frange di interferenza prodotte in esso è caratterizzato da una distanza tra massimi consecutivi pari a $p = 0.47$ mm. Si assuma che la distanza tra schermo e fenditure sia pari a $L = 77$ cm.
Calcolare la distanza $d$ tra le due fenditure.
Determinare la lunghezza d’onda $\lambda_2$ per la quale lo stesso dispositivo produce un sistema di frange d’interferenza avente spaziatura $p_2 = 0.91$ mm.
Determinare la spaziatura delle frange $p_a$ che la stessa luce arancione del primo punto genererebbe qualora il dispositivo venisse immerso in acqua (indice di rifrazione $n_a = 1.33$).
Qual è la densità di frange nell’ultimo caso?
Soluzione
Nell’esperimento di Young la distanza tra i centri di due massimi consecutivi (anche detta passo) è $p = \frac{\lambda L}{d}$ e quindi $$ d = \frac{\lambda L}{p} = 1 \, {\rm mm} $$
Usando la stessa formula del punto precedente troviamo $$ \lambda_2 = \frac{p d}{L} = 1.18 \, {\rm \mu m} = 1180 \, {\rm nm} $$
Un’onda che passa in un mezzo avente indice di rifrazione diverso da uno subisce un cambiamento di lunghezza d’onda, che in questo caso diventa $\lambda_a = \frac{\lambda_1}{n_a}$. Utilizzando la relazione precedente troviamo quindi $$ p_a = \frac{\lambda_a L}{d} = \frac{\lambda_1 L}{n_a d} = \frac{p}{n} = 0.28 \, {\rm mm} $$
La densità di frange non è altro che il numero di frange per unità di lunghezza, cioè l’inverso della spaziatura: $$ D = \frac{1}{p_a} = 3.5 \, {\rm mm}^{-1} = 35 \, {\rm cm}^{-1} $$
Esercizio 64
Su una lastra di materiale è praticata una fenditura di larghezza $a$, che viene illuminata con luce di lunghezza d’onda $\lambda_1 = 350$ nm e $\lambda_2 = 450$ nm che incide perpendicolarmente alla fenditura. Su uno schermo posto a distanza $L = 6$ m (molto maggiore delle dimensioni della fenditura stessa), si osserva che la distanza spaziale tra i minimi di diffrazione del secondo ordine delle due componenti della luce è pari a $\Delta x = 6$ cm.
Determinare la larghezza $a$ della fenditura;
Calcolare l’intensità relativa delle due onde in direzione normale allo schermo sapendo che l’intensità relativa delle due onde nella direzione $\theta = \pi / 5$ è pari a $I_1(\pi / 5) / I_2(\pi/5) = 0.06$.
Soluzione
In generale la posizione dei minimi di diffrazione si ha per quegli angoli $\theta$ per cui vale $$ \sin\theta = m\frac{\lambda}{a} $$ dove $m$ è un qualunque intero diverso da 0. Se $L \gg x$ possiamo considerare approssimare $\sin \theta \approx \tan \theta \approx x / L$, quindila distanza angolare tra due minimi vale $$ \Delta \sin\theta \approx 2 \frac{\lambda_2 - \lambda_1}{a} = \frac{\Delta x}{L} $$ poiché consideriamo i minimi del secondo ordine ($m = 2$). Dalla relazione precedente possiamo ricavare la larghezza della fenditura: $$ a = \frac{2 (\lambda_2 - \lambda_1) L}{\Delta x} = 20 \, {\rm \mu m} $$
In generale l’intensità della figura di diffrazione è data da $$ I(\theta) = I(0) \left( \frac{\sin \left( \frac{\pi a \sin \theta}{\lambda} \right)}{\frac{\pi a \sin \theta}{\lambda}} \right)^2 $$ e quindi il rapporto tra le intensità per $\theta = \theta_p = \pi / 5$ è $$ \frac{I_1(\pi/5)}{I_2(\pi/5)} = \frac{I_1(0)}{I_2(0)} \frac{\sin^2 \left( \frac{\pi a \sin \theta_p}{\lambda_1} \right)}{\sin^2 \left( \frac{\pi a \sin \theta_p}{\lambda_2} \right)} \frac{\lambda_2^2}{\lambda_1^2} $$ e quindi l’intensità relativa delle due componenti quando $\theta = 0$ vale $$ \frac{I_1(0)}{I_2(0)} = \frac{I_1(\pi/5)}{I_2(\pi/5)} \frac{\sin^2 \left( \frac{\pi a \sin \theta_p}{\lambda_2} \right)}{\sin^2 \left( \frac{\pi a \sin \theta_p}{\lambda_1} \right)} \frac{\lambda_1^2}{\lambda_2^2} = 0.015. $$