Legge di Lenz

Il segno meno davanti alla derivata del flusso nella legge di Faraday è così importante da prendere il nome di legge di Lenz. Questa afferma che l’effetto della forza elettromotrice indotta dalla variazione di flusso di $\vec{B}$ è tale da opporsi alla causa che l’ha generata:

• Se il flusso aumenta nel tempo, la forza elettromotrice è negativa e la corrente indotta genererà, a sua volta, un flusso che tenderà a contrastare l’ulteriore aumento di $\Phi(\vec{B})$.

• se il flusso diminuisce nel tempo, la forza elettromotrice è positiva e la corrente indotta genererà, a sua volta, un flusso che tenderà ad aumentare $\Phi(\vec{B})$.

Ad esempio, prendiamo un campo magnetico diretto parallelamente alla normale di una spira. Se il campo magnetico è variabile nel tempo, lo è anche il flusso concatenato con la spira. Applicando la legge di Faraday troviamo che se il campo aumenta di intensità il flusso aumenta, e questo aumento genererà una corrente indotta il cui verso sara tale da generare un flusso negativo che si opporrà a un ulteriore aumento. Viceversa in caso di flusso del campo decrescente.

Questa proprietà della legge di Faraday è un aspetto particolare del principio di conservazione dell’energia. Per capirlo, prendiamo due spire parallele. La prima è ferma e in essa non scorre alcuna corrente. La seconda è in movimento e in essa scorre una corrente. Se il moto è tale per cui le due spire si avvicinano, il flusso del campo generato dalla seconda sulla prima aumenterà nel tempo. Per la legge di Lenz questo aumenta porta a una f.e.m. negativa che genera una corrente nella prima spira che ha verso opposto a quella che scorre nella seconda spira. Questo fa sì che le due spire sentano una mutua repulsione che diminuisce la velocità con cui i due oggetti si avvicinano. Se la legge di Faraday non avesse il segno negativo la sola presenza della spira ferma farebbe accelerare la seconda spira, violando il principio di conservazione dell’energia (da dove verrebbe l’energia cinetica in eccesso?).

Origine del campo elettrico indotto

MNV: paragrafo 8.2

Consideriamo la legge di Faraday, esplicitando la definizione di flusso:

$$ \mathcal{E}_i = \oint_{\mathcal{C}(t)} \vec{E}_i \cdot d\vec{s} = - \frac{d\Phi_{\mathcal{C}(t)}(\vec{B})}{dt} = - \frac{d}{d t} \int_{\Sigma(t)} \vec{B}(t) \cdot \hat{n} d\Sigma $$

dove $\mathcal{C}(t)$ è la linea chiusa che stiamo considerando (e che potrebbe variare nel tempo), mentre $\Sigma(t)$ è una qualsiasi superficie che ha $\mathcal{C}(t)$ come contorno. È chiaro che la forza elettromotrice risultante contiene due contributi dovuti a

• la dipendenza temporale della linea chiusa (e quindi della superficie associata);

• la dipendenza temporale del campo.

Possiamo dimostrare esplicitamente la legge di Faraday nel primo caso considerando un circuito rettangolare posto sul piano ortogonale ad un campo magnetico uniforme $\vec{B}$ di verso uscente. Un lato del circuito è composto da una sbarretta conduttrice mobile. Se viene messa in moto con velocità $\vec{v}$ parallela ad $\hat{x}$, sugli elettroni agirà una forza di Lorentz $\vec{F} = -e \vec{v} \times \vec{B}$. Poiché la forza di Lorentz è proporzionale alla carica della particella ed all’inizio del corso abbiamo definito il campo elettrico in termini di forza e carica come $\vec{E} = \vec{F} / q$, possiamo pensare a questa forza come una forza generata da un campo elettromotore

$$ \vec{E}_i = \frac{\vec{F}}{-e} = \vec{v} \times \vec{B}. $$

Questo risultato si può anche ottenere formalmente riscrivendo la derivata totale rispetto al tempo del flusso del campo magnetico calcolato su di una superficie che dipende essa stessa dal tempo.

Se la sbarretta ha altezza $b$ e si muove lungo $x$, la circuitazione del campo elettromotore (calcolata in senso antiorario) è

$$ \mathcal{E}_i = \oint_{\rm circuito} \vec{E}_i \cdot d\vec{s} = \oint_{\rm circuito} \vec{v} \times \vec{B} \cdot d\vec{s} = \int_{\rm sbarretta} vB dy = - v B b $$

dove il segno meno è dovuto al verso con cui il circuito è percorso e indica che la forza elettromotrice genererà una corrente che scorre in verso orario. Dimostriamo che l’espressione precedente è uguale a quella che si ottiene con la legge di Faraday. Il flusso del campo è

$$ \Phi(\vec{B}) = \oint_{\rm circuito} \vec{B} \cdot \hat{n} d\Sigma = B b x $$

e quindi, applicando la legge di Faraday,

$$ \mathcal{E}_i = - \frac{d\Phi(\vec{B})}{dt} = - B b \frac{dx}{dt} = -B b v. $$

L’uguaglianza delle due espressioni, qui ricavata per un caso specifico, è un risultato generale che si estende al caso di qualunque circuito in movimento in presenza di un campo magnetico costante. In tutti questi casi la forza elettromotrice indotta è un effetto della forza di Lorentz che agisce sugli elettroni presenti nei conduttori.

La seconda causa di induzione è quella dovuta a campi magnetici non costanti (cioè variabili nel tempo). Consideriamo una linea chiusa (e quindi una superficie su cui calcolare il flusso di $\vec{B}$) che non varia nel tempo. Se questa linea chiusa coincide con un circuito, i risultati sperimentali discussi all’inizio di questa lezione dimostrano come gli elettroni all’interno dei conduttori si mettano in moto in forza della variazione di campo magnetico. Questo è possibile solo in presenza di un campo elettrico che non può che essere generato proprio dalla variazione di flusso di campo magnetico. È importante notare come questo effetto non richiede che $\mathcal{C}$ coincida con un circuito. In ogni punto dello spazio in cui è presente un campo magnetico variabile, infatti, quest’ultimo genererà un campo elettromotore (non conservativo) indotto. Questo effetto può essere utilizzato, ad esempio, per costruire particolari acceleratori di particelle detti betatroni.

Applicazioni della legge di Faraday

MNV: paragrafo 8.3

Extracorrenti di apertura e di chiusura

Corrente di spostamento

MNV: paragrafo 5.8

Questo apparente paradosso si risolve con il concetto di corrente di spostamento. Durante i processi di carica e scarica del condensatore, all’interno del circuito scorre una corrente $i(t)$ che dipende dal tempo ma è la stessa in ogni sezione del circuito. All’interno dei conduttori questa corrente coincide con la corrente di conduzione, $i(t) = i_c(t)$. Cosa succede invece tra le armature del condensatore? È chiaro che non può esserci una corrente vera e propria, perché lo spazio tra le armature non contiene cariche libere. D’altro canto, affinché il circuito sia “chiuso” e scorra corrente in tutte le sue porzioni, dobbiamo immaginare un processo che in qualche modo “sposti” le cariche da un capo all’altro del condensatore.

Dal punto di vista intuitivo, quando la carica varia su una delle armature (ad esempio una quantità di carica $dq$ si accumula sull’armatura positiva), per induzione la stessa quantità di carica, ma di segno opposto, $-dq$, appare sull’altra armatura. In forza del principio di conservazione della carica c’è quindi un eccesso di carica $dq$ che si deve spostare dalla seconda armatura. Possiamo quindi interpretare questo fenomeno come se una quantità $dq$ di carica si fosse spostata da un’armatura all’altra, dando vita ad una corrente di spostamento $i_s$. Poiché non solo la carica è conservata, ma $i(t)$ è, ad un dato istante di tempo $t$, la stessa ovunque nel circuito, si deve avere $i_s(t) = i_c(t)$. Possiamo calcolare $i_s$ considerando un condensatore piano, nel quale vale $C = \frac{\epsilon_0 \Sigma}{h}$, $E = \frac{\Delta V}{h}$. Si ha quindi:

$$ i_s(t) = \frac{dq}{dt} = \frac{d}{dt} (C \Delta V) = \frac{d}{dt} \left( \frac{\epsilon_0 \Sigma \Delta V}{h} \right) = \epsilon_0 \frac{d}{dt} (\Sigma E) = \epsilon_0 \frac{d\Phi(\vec{E})}{dt} $$

dove $\Phi(\vec{E})$ è il flusso del campo attraverso il condensatore. Questa relazione ha valore generale. Vediamo come, in questa forma, la corrente di spostamento è automaticamente nulla in presenza di un campo costante: questo si ha, ad esempio, quando il condensatore è carico e la d.d.p. ai suoi capi diventa costante. In questo caso il condensatore è equivalente ad una interruzione del circuito. In maniera analoga a quanto fatto per la corrente di conduzione, anche alla corrente di spostamento si può associare una densità di corrente,

$$ j_s = \frac{i_s}{\Sigma} = \epsilon_0 \frac{dE}{dt}. $$

La corrente totale è data dalla somma delle correnti di conduzione e di spostamento, cioè si ha

$$ i = i_c + i_s = i_c + \epsilon_0 \frac{d\Phi(\vec{E})}{dt} $$

e quindi l’espressione del teorema di Ampère nel caso generale diventa

$$ \oint \vec{B} \cdot d\vec{s} = \mu_0 \left( i_c + \epsilon_0 \frac{d\Phi(\vec{E})}{dt} \right). $$

Questa legge, detta di Ampère-Maxwell, è analoga alla legge di Faraday, nel senso che lega la variazione del campo elettrico alla presenza di un campo magnetico. Questo si può vedere applicando la legge di Ampère-Maxwell ad un percorso che non concatena la corrente di conduzione:

$$ \oint \vec{B} \cdot d\vec{s} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{d\Phi(\vec{E})}{dt} = \frac{1}{c^2} \frac{d\Phi(\vec{E})}{dt}, $$

dove abbiamo notato che $\epsilon_0 \mu_0 = \frac{1}{c^2}$, dove $c$ è la velocità della luce. Questa relazione è formalmente identica alla legge di Faraday, che lega la circuitazione del campo elettrico alla variazione di flusso di campo magnetico:

$$ \oint \vec{E} \cdot d\vec{s} = - \frac{d\Phi(\vec{B})}{dt}. $$

Nota Bene: il termine corrente di spostamento, coniato da Maxwell, è improprio. La presenza di una corrente di spostamento, infatti, non è collegata ad un vero e proprio moto di cariche.

Campo magnetico prodotto da un condensatore in carica

MNV: ispirato dall’esempio 8.8

Consideriamo un condensatore piano composto da due armature circolari di raggio $a$ posto in serie ad una resistenza $R$, ad un generatore di f.e.m. $\mathcal{E}$ e a un interruttore, inizialmente aperto. Abbiamo visto che, chiudendo l’interruttore, la carica sulle armature varia con la legge

$$ q(t) = C\mathcal{E}\left( 1 - e^{-\frac{t}{\tau}}\right), $$

dove $\tau = RC$ è il tempo caratteristico di carica. Poiché la carica varia, varierà anche il campo elettrico all’interno del condensatore, che sarà diretto dall’armatura positiva a quella negativa e avrà modulo

$$ E = \frac{\sigma(t)}{\epsilon_0} = \frac{q(t)}{\pi a^2 \epsilon_0}, $$

dando quindi luogo, secondo la legge di Ampère-Maxwell, ad un campo magnetico indotto. Lo possiamo calcolare considerando che, per simmetria, il campo magnetico non potrà che avere linee di campo circolari concentriche al centro del condensatore. Se calcoliamo la circuitazione di $\vec{B}$ su una di queste linee di campo di raggio $r$ otteniamo

$$ \oint \vec{B} \cdot d\vec{s} = B 2 \pi r $$

che è legata alla derivata temporale del flusso del campo elettrico, che vale

$$ \frac{d\Phi(E)}{dt} = \frac{d}{dt} \pi r^2 \frac{q(t)}{\pi a^2 \epsilon_0} = \frac{r^2}{a^2 \epsilon_0} \frac{dq(t)}{dt} = \frac{r^2}{a^2 \epsilon_0} \frac{\mathcal{E}}{R} e^{-\frac{t}{\tau}}. $$

Applicando la legge di Ampère-Maxwell si ottiene

$$ 2 \pi r B = \frac{\mu_0 r^2}{a^2} \frac{\mathcal{E}}{R} e^{-\frac{t}{\tau}} $$

da cui si deriva l’espressione del modulo del campo magnetico:

$$ B = \frac{\mu_0 r}{2 \pi a^2} \frac{\mathcal{E}}{R} e^{-\frac{t}{\tau}} $$

Forma integrale

MNV: paragrafo 8.8

Le quattro equazioni in forma integrale sono

\begin{align} \oint \vec{E} \cdot \hat{n} d\Sigma = \frac{Q}{\epsilon_0} \qquad & \oint \vec{E} \cdot d\vec{s} = - \frac{d\Phi(\vec{B})}{dt}\\ \oint \vec{B} \cdot \hat{n} d\Sigma = 0 \qquad & \oint \vec{B} \cdot d\vec{s} = \mu_0 \left(i + \epsilon_0 \frac{d\Phi(\vec{E})}{dt}\right). \end{align}

Da queste relazioni si deducono tutte le altre che abbiamo studiato fino ad ora. Abbiamo già discusso il significato di ogni equazione. Ricordiamo che

1. la prima equazione lega il campo elettrico alle sue sorgenti (le cariche);

2. la seconda equazione lega il campo elettrico alle variazioni di campo magnetico;

3. la terza equazione afferma che non esistono monopoli magnetici;

4. la quarta equazione lega il campo magnetico alle sue sorgenti (le correnti) e alla variazione di campo elettrico.

Queste equazioni diventano particolarmente simmetriche se $Q = 0$ e $i = 0$:

\begin{align} \oint \vec{E} \cdot \hat{n} d\Sigma = 0 \qquad & \oint \vec{E} \cdot d\vec{s} = - \frac{d\Phi(\vec{B})}{dt}\\ \oint \vec{B} \cdot \hat{n} d\Sigma = 0 \qquad & \oint \vec{B} \cdot d\vec{s} = \frac{1}{c^2} \frac{d\Phi(\vec{E})}{dt}. \end{align}

Equazioni in questa forma hanno una soluzione banale ($\vec{B} = 0$ e $\vec{E} = 0$) e una in cui i campi sono sempre variabili sia nel tempo che nello spazio. Quest’ultima soluzione è legata alla propagazione del campo elettromagnetico, cioè al fenomeno delle onde elettromagnetiche.

Forma differenziale

MNV: paragrafo 8.9

Le equazioni di Faraday e di Ampère-Maxwell possono essere riscritte in forma locale utilizzando il teorema di Stokes. Si ha infatti che

$$ \oint_\mathcal{C} \vec{E} \cdot d\vec{s} = \int_{\Sigma(\mathcal{C})} \vec{\nabla} \times \vec{E} \cdot \hat{n} d\Sigma = - \frac{\partial}{\partial t} \int_{\Sigma(\mathcal{C})} \vec{B} \cdot \hat{n} d\Sigma = - \int_{\Sigma(\mathcal{C})} \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \cdot \hat{n} d\Sigma. $$

Poiché questa relazione è vera per qualunque $\Sigma$, si deve avere

$$ \vec{\nabla} \times \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}. $$

In maniera del tutto analoga si trova

$$ \oint_\mathcal{C} \vec{B} \cdot d\vec{s} = \int_{\Sigma(\mathcal{C})} \vec{\nabla} \times \vec{B} \cdot \hat{n} d\Sigma = \mu_0 \int_{\Sigma(\mathcal{C})} \vec{j} \cdot \hat{n} d\Sigma + \epsilon_0 \mu_0 \int_{\Sigma(\mathcal{C})} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \cdot \hat{n} d\Sigma $$

e quindi

$$ \vec{\nabla} \times \vec{B} = \mu_0 \left( \vec{j} + \epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \right). $$

Mettendo insieme le quattro equazioni otteniamo le seguenti equazioni di Maxwell per il campo elettromagnetico:

$$ \begin{align} \vec{\nabla} \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0} \qquad & \vec{\nabla} \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\\ \vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0 \qquad & \vec{\nabla} \times \vec{B} = \mu_0 \left( \vec{j} + \epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \right). \end{align} $$

Questa è la forma più comoda dal punto di vista pratico, poiché queste relazioni hanno valore locale, cioè sono vere punto per punto. Queste equazioni possono essere risolte analiticamente in alcuni casi semplici, mentre in generale è necessario o ricorrere ad approssimazioni oppure risolverle numericamente, cioè con l’ausilio del computer.

Conservazione della carica

Prendiamo la divergenza dell’equazione di Maxwell in forma differenziale che lega il campo magnetico alle sue sorgenti. Poiché il risultato di un prodotto vettoriale è sempre ortogonale ad entrambi i vettori che andiamo a moltiplicare, $\vec{\nabla} \cdot (\vec{\nabla} \times \vec{B}) = 0$, quindi

$$ \vec{\nabla} \cdot \vec{j} + \epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} \vec{\nabla} \cdot \vec{E} = 0 $$

che, ricordando che la divergenza del campo elettrico è legata alla densità di carica, si può riscrivere come

$$ \vec{\nabla} \cdot \vec{j} = - \frac{\partial \rho}{\partial t}. $$

Questa equazione, che lega le derivate spaziali di una densità di corrente alla derivata temporale di una densità, è detta di continuità ed appare molte volte in diversi ambiti della fisica. Si può capirne il significato se la integriamo su di un volume $\tau$ arbitrario:

$$ \int_\tau \vec{\nabla} \cdot \vec{j} d\tau = - \int_\tau \frac{\partial \rho}{\partial t} d \tau = - \frac{\partial q_{\rm int}}{\partial t}, $$

dove $q_{\rm int}$ è la carica contenuta nel volume $\tau$. Applicando il teorema della divergenza al membro di sinistra si trova

$$ \int_\tau \vec{\nabla} \cdot \vec{j} d\tau = \oint_{\Sigma} \vec{j} \cdot \hat{n} d\Sigma = i_a, $$

dove $i_a$, data la sua definizione, è semplicemente la corrente che attraverso la superficie $\Sigma$ (definita come quella superficie che racchiude il volume $\tau$). Si ha quindi che

$$ i_a = - \frac{\partial q_{\rm int}}{\partial t}, $$

che si interpreta dicendo che la corrente totale che scorre attraverso una superficie è pari alla derivata temporale della carica contenuta al suo interno presa col segno meno. Ad esempio, se siamo in presenza di una corrente stazionaria, tanta carica entra tanta ne esce, quindi $\frac{\partial q_{\rm int}}{\partial t}$ è 0, così come $i_a$. L’equazione appena trovata implica quindi che la carica si conserva: se $i_a$ è positiva, la carica presente in $\tau$ sta diminuendo (e viceversa).