Carica elettrica

MNV: paragrafo 1.1

Alcuni oggetti, se strofinati con un panno, mostrano la capacità di attirare corpuscoli come pagliuzze o granelli di polvere. Questo è dovuto al fatto che alcuni materiali, quando strofinati, acquistano una carica. Tramite esperimenti si è capito che

• Non tutti i materiali si possono caricare

• Due oggetti carichi esercitano l’uno sull’altro una forza che chamiamo elettrica

• Esistono cariche di due tipi, che chiamiamo positive e negative

• Cariche dello stesso tipo si respingono, cariche di tipo diverso si attraggono

Struttura elettrica della materia

MNV: paragrafo 1.2

Quella che segue è una descrizione poco rigorosa e molto qualitativa della vera struttura atomica della materia, ma è sufficiente per i nostri scopi.

• La materia è composta da neutroni (carica nulla), protoni (carica positiva) ed elettroni (carica negativa)

• La massa dei protoni (che, insieme ai neutroni, compongono il nucleo degli atomi) è quasi 2000 volte più grande di quella degli elettroni, che invece “orbitano” (per modo di dire!) intorno al nucleo.

• La carica degli elettroni e dei protoni, in modulo, è detta carica elementare ed è indicata col simbolo $e$. Ogni altra carica presente in natura è multipla di questa carica (la carica è una quantità quantizzata).

• La maggior parte dei corpi ha carica netta $0$ ed è quindi detto neutro.

• Gli elettroni negli orbitali più esterni hanno una certa energia di legame. È quindi possibile, fornendo ad esempio energia meccanica tramite strofinio, strappare alcuni di questi elettroni facendoli passare da un corpo $A$ ad un altro $B$. Alla fine della procedura $A$ e $B$ non saranno più neutri ma carichi, poiché $A$ avrà un eccesso di cariche positive e $B$ un eccesso di cariche negative.

• In un sistema isolato (dal punto di vista elettrico) le cariche si conservano: la somma totale della carica non cambia nel tempo.

L’unità di misura della carica è il Coulomb, C. In questa unità $e = 1.6 \times 10^{-19}$ C. Le cariche con cui avremo a che fare sono molto più grandi, dell’ordine di $10^{-9} - 10^{-7}$ C. Questi valori equivalgono ad un gran numero di elettroni o protoni (ordine $10^{10}$). D’altro canto, in un grammo di materia abbiamo un numero enormemente maggiore di elettroni e protoni, comparabile con il numero di Avogadro, $N_A = 6.022 \times 10^{23}$. Anche nei sistemi molto carichi, quindi, solo una piccola parte delle cariche elementari è “spaiata”.

Campi vettoriali e principio di sovrapposizione

Il più semplice tipo di campo è un campo scalare, cioè una funzione che associa uno scalare ad ogni punto dello spazio. Un esempio è il campo di temperatura, $T(x, y, z)$. Questa immagine riporta una carta metereologica che indica come variano pressione e temperatura su una porzione di superficie del globo:

Un campo vettoriale è un oggetto matematico che associa un vettore ad ogni punto dello spazio. Per visualizzare campi vettoriali in 2D si può utilizzare questa pagina.

In uno spazio tridimensionale un campo vettoriale è una funzione di tre variabili, esprimibili separatamente, $\vec{E}(x, y, z)$, o come vettore, $\vec{E}(\vec{r})$, dove abbiamo definito $\vec{r} = (x, y, z)$.

In alcuni casi particolari, molto importanti nella fisica, diversi campi aventi la stessa natura si possono sommare direttamente. È il caso del campo elettromagnetico, per cui vale il cosiddetto principio di sovrapposizione: il campo totale generato da più di una sorgente è la somma dei campi generati dalle singole sorgenti.

Fine lezione 1

Distribuzioni continue di cariche

MNV: paragrafo 1.5

Poiché la carica è quantizzata, a rigor di logica il campo elettrico $\vec{E}$ (o, equivalentemente, la forza $\vec{F}$) dovrebbe essere sempre espresso come una somma di contributi concentrati intorno agli atomi. In realtà abbiamo a che fare sempre con dimensioni molto maggiori di quelle atomiche, e quindi, all’atto pratico, ciò che misuriamo è il campo elettrostatico mediato sulla distribuzione di cariche atomiche che, alle scale macroscopiche che ci interessano, è vista come una distribuzione continua. Utilizzando quindi il concetto di infinitesimo, possiamo scrivere il campo totale come una somma di infiniti contributi: un integrale.

Consideriamo un volume $v$ in cui è distribuita una certa quantità di carica. Il campo elettrico generato in un punto $\vec{P}$ da una porzione infinitesima di carica $dq$ distante $\vec{r}$ da $\vec{P}$ è semplicemente

$$ d\vec{E}(\vec{P}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{dq}{r^2} \hat{r}. $$

L’espressione del campo elettrico totale in $\vec{P}$, in forza del principio di sovrapposizione, è quindi

$$ \vec{E}(\vec{P}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int_v \frac{dq}{r^2} \hat{r} $$

Nota Bene: poiché è esteso a tutto il volume, l’integrale è un integrale triplo. Inoltre, poiché abbiamo a che fare con quantità vettoriali, dobbiamo calcolare un integrale per ogni componente del vettore (uno per $x$, uno per $y$ e uno per $z$).

Nella maggior parte dei casi che incontreremo, la carica totale $q$ sarà distribuita uniformemente su oggetti di diversa forma. In questo caso la carica infinitesima si può scrivere esplicitamente:

• $dq = \lambda dl$ per oggetti “unidimensionali”, dove $\lambda$ è detta densità lineare e $dl$ è l’elemento di linea infinitesimo (MNV: esempio 1.6).

• $dq = \sigma d\Sigma$ per oggetti “bidimensionali”, dove $\sigma$ è detta densità superficiale e $d\Sigma$ è l’elemento superficiale infinitesimo (MNV: esempio 1.7).

• $dq = \rho d\tau$ per oggetti “tridimensionali”, dove $\rho$ è detta densità volumetrica e $d\tau$ è l’elemento di volume infinitesimo.

Esempio di campo generato da una distribuzione lineare di carica

Consideriamo il sistema in figura: una sbarretta lunga $2L$ è caricata uniformemente con carica $q$. Calcoliamo il campo generato in un punto generico $x_0$ equidistante dalle estremità della sbarretta, cioè in uno dei punti della linea tratteggiata disegnata in figura. Utilizziamo l’espressione di un campo generato da un sistema composto da due cariche (vedi box sotto).

Preambolo: il campo generato da due cariche

Consideriamo due cariche fisse $q$ disposte parallele all'asse $y$ e distanti $2L$. Calcoliamo il campo elettrostatico in un punto generico $x_0$ equidistante dalle due cariche, cioè in uno dei punti della linea tratteggiata disegnata in figura. Utilizziamo il sistema di riferimento nel quale le due cariche hanno coordinate $\vec{r}_1 = (0, L)$ e $\vec{r}_2 = (0, -L)$ e il punto che ci interessa ha coordinate $\vec{r}_0 = (x_0, 0)$. Studiamo il campo generato dalla prima carica, rispetto alla quale $\vec{r}_{10} = \vec{r}_0 - \vec{r}_1 = (x_0, -L)$, $r_{10} = \sqrt{x_0^2 + L^2}$ e quindi $\hat{r}_{10} = \frac{1}{r_{10}}(x_0, -L)$: $$ E_x^{10} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r_{10}^2} \frac{x_0}{r_{10}} $$ $$ E_y^{10} = -\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r_{10}^2} \frac{L}{r_{10}} $$ D'altra parte, rispetto alla seconda carica abbiamo $\vec{r}_{20} = \vec{r}_0 - \vec{r}_2 = (x_0, L)$, $r_{20} = \sqrt{x_0^2 + L^2} = r_{10}$, $\hat{r}_{20} = \frac{1}{r_{20}}(x_0, L)$ e quindi $$ E_x^{20} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r_{10}^2} \frac{x_0}{r_{10}} $$ $$ E_y^{20} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r_{10}^2} \frac{L}{r_{10}} $$ Il campo totale è la sovrapposizione (cioè, la somma) dei due, e quindi si ha $E_x = 2E_x^{10}$ e $E_y = 0$. Possiamo ritrovare lo stesso risultato considerando che, in generale, se definiamo $\theta$ come l'angolo compreso tra il campo e l'asse $x$, $E_x^{10} = |\vec{E}_{10}|\cos{\theta}$ e $E_y^{10} = |\vec{E}_{10}|\sin{\theta}$. Nel caso specifico dell'esercizio vale l'uguaglianza trigonometrica $\cos{\theta} = \frac{x_0}{r_{10}}$, mentre il modulo di $\vec{E}$ si ricava dalla legge di Coulomb, $|\vec{E}| = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r_{10}^2}$. Si trova quindi: $$ E_x^{10} = \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \frac{\cos \theta}{r_{10}^2} = \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \frac{x_0}{r_{10}^3} $$ e quindi $$ E_x = 2E_x^{10} = \frac{q}{2\pi\epsilon_0} \frac{\cos \theta}{r_{10}^2} = \frac{q}{2\pi\epsilon_0} \frac{x_0}{r_{10}^3} $$ in accordo col risultato precedente.

Ogni infinitesimo di sbarretta contiene una carica $dq$. Ogni coppia di infinitesimi posti alla stessa distanza dalla linea rossa genera un campo $d\vec{E}$ che ha l’espressione trovata al problema precedente sostituendo $q$ con $dq$. In particolare, il campo avrà solo la componente $x$ ($dE_x$) diversa da 0, che vale

$$ dE_x = \frac{dq}{2\pi\epsilon_0} \frac{\cos \theta}{r^2} $$

dove $r$ è la distanza tra $dq$ e il punto $(x_0, 0)$. Poiché $r \cos \theta = x_0$, $r = x_0 / \cos \theta$; inoltre, la sbarretta ha una distribuzione di carica uniforme, quindi $dq = \lambda dy$, con $\lambda = q / 2L$, quindi

$$ dE_x = \frac{\lambda dy}{4\pi\epsilon_0} \frac{\cos^3 \theta}{x_0^2}. $$

Per calcolare $E_x$ dobbiamo integrare su metà sbarretta (perché stiamo considerando coppie di punti), quindi da $0$ a $L$. Per risolvere l’integrale dobbiamo però cambiare variabile (e quindi estremi di integrazione), passando da $y$ a $\theta$, che sono legati dalla relazione $y = x_0 \tan \theta$. Si ha quindi

$$ dy = x_0 \frac{d\theta}{\cos^2\theta} $$

e quindi

$$ dE_x = \frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0 x_0} \cos \theta d \theta. $$

Gli estremi di integrazione passano da $(0, L)$ a $(0, \theta_1)$, dove $\theta_1 = \arcsin \left( L / \sqrt{L^2 + x_0^2} \right)$, quindi si trova

$$ E_x = \frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0 x_0} \int_0^{\theta_1} \cos \theta d \theta = \frac{\lambda \sin \theta_1}{4\pi\epsilon_0 x_0} = \frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0 x_0} \frac{L}{\sqrt{L^2 + x_0^2}} $$

Linee di forza di $\vec{E}$

MNV: paragrafo 1.6

Qualunque distribuzione di carica genera un campo elettrostatico in tutto lo spazio: se volessimo mettere una carica di prova in un punto qualsiasi, questa sentirebbe una forza dovuta alla presenza di tutte le altre cariche.

Possiamo disegnare questo campo partendo da un punto e muovendoci lungo la tangente del campo. Otterremo un insieme di linee (dette di forza o di campo) con le seguenti proprietà:

• Le linee hanno la stessa direzione e lo stesso verso del campo.

• Più le linee sono dense, più il campo è intenso (e viceversa).

• In ogni punto il campo prende uno e un solo valore: le linee non possono mai incrociarsi.

• Le linee partono dalle cariche positive e terminano su quelle negative. Se il sistema non è neutro, alcune linee di forza non terminano ma si chiudono all’infinito.

A questo link è possibile visualizzare le linee di forza di un campo elettrostatico generato sul piano da una qualsiasi distribuzione di carica discreta.

Fine lezione 2

Moto di una carica in un campo elettrostatico

MNV: paragrafo 1.7 ed esempio 1.9

Poniamo una carica $q_0$ in una regione di spazio dove è presente un campo elettrostatico $\vec{E}$ generato da una distribuzione di cariche fisse (nel senso che abbiamo già discusso). Se la carica ha massa $m$, la presenza del campo la sottoporrà ad una accelerazione in accordo con le leggi della dinamica in condizioni non relativistiche ($\vec{F} = q_0\vec{E} = m\vec{a}$), per cui

$$ \vec{a} = \frac{d^2\vec{r}}{dt^2} = \frac{q}{m}\vec{E} $$

La relazione precedente può essere integrata per ottenere (a partire da condizioni iniziali date) la posizione e velocità della carica nel tempo. In generale, se $q > 0$ l’accelerazione è parallela e concorde ad $\vec{E}$, mentre se $q$ è negativa $\vec{a}$ ed $\vec{E}$ hanno verso opposto.

Per fare un esempio, descriviamo il moto di una particella di massa $m$ e carica $q$ in un campo uniforme $\vec{E}$ (come può essere quello generato da piani indefiniti). Prendiamo un sistema di riferimento che abbia l’asse $x$ orientato lungo la direzione del campo elettrico. Se la particella carica ha posizione iniziale $(x_0, y_0, z_0)$ e velocità iniziale $(v_{0,x}, v_{0,y}, v_{0,z})$, le equazioni del moto lungo $x$ si scrivono:

\begin{align} a_x(t) & = \frac{q}{m}E\\ v_x(t) & = v_{0,x} + at\\ x(t) & = x_0 + v_{0,x}t + \frac{1}{2}at^2 \end{align}

Lungo gli altri assi si ha $a_y(t) = a_z(t) = 0$ e quindi

\begin{align} v_y(t) & = v_{0,y}\\ v_z(t) & = v_{0,z}\\ y(t) & = y_0 + v_{0,y}t\\ z(t) & = z_0 + v_{0,z}t \end{align}

Poiché la particella accelera, la sua energia cinetica $U_k = \frac{1}{2}mv^2(t)$ cambia nel tempo. Calcoliamo la differenza di energia cinetica:

$$ \Delta U_k(t) = U_k(t) - U_k(0) = \frac{1}{2}m\left(v_{0,x}^2 + a^2t^2 + 2v_{0,x}at\right) - \frac{1}{2}mv_{0,x}^2 = \frac{1}{2}m(a(at^2+ 2v_{x,0}t)) = ma(x(t) - x_0) $$

Se ora sostituiamo la relazione che collega $E$ ad $a$ troviamo

$$ \Delta U_k(t) = qE(x(t) - x_0) = F\Delta s(t) $$

Dove $F$ è la forza elettrica e $\Delta s$ è lo spostamento. La differenza di energia cinetica è quindi pari al lavoro svolto dalla forza elettrostatica, $W$.

Potenziale elettrostatico

MNV: seconda parte del paragrafo 2.1 e paragrafo 2.2

Ricordiamo che l’integrale di linea di $\vec{E}\cdot d\vec{S}$ non dipende dal percorso ma solo dai punti $A$ e $B$ di partenza ed arrivo. Senza perdere di generalità possiamo quindi scrivere:

$$ \int_A^B \vec{E}\cdot d\vec{s} = V(A) - V(B) = -(V(B) - V(A)). $$

La funzione $V(\vec{r})$ si chiama potenziale elettrostatico e, poiché compare come differenza nella relazione precedente (che la definisce), è definita a meno di una costante. Utilizzando la funzione $V$ possiamo riscrivere la definizione di lavoro della forza elettrostatica:

$$ W_{AB} = -q_0(V(B) - V(A)) = -q_0 \Delta V $$

Alle forze conservative si può associare una energia potenziale la cui differenza tra due punti è pari all’opposto del lavoro compiuto per quello stesso spostamento, cioè:

$$ W_{AB} = U_e(A) - U_e(B) = -( U_e(B) - U_e(A) ) = -q_0 ( V(B) - V(A) ) $$

L’energia potenziale di un sistema elettrostatico (detta anche energia potenziale elettrostatica) è quindi strettamente legata al potenziale:

$$ \Delta U_e = q_0 \Delta V $$

Nota Bene: la dicitura conservativa non è casuale. In presenza di sole forze conservative, infatti, l’energia totale del sistema (energia cinetica più energia potenziale) si conserva: se l’energia potenziale varia di una certa quantità, il valore dell’energia cinetica varia della stessa quantità cambiata di segno. Per esempio, nel caso semplice di un campo uniforme abbiamo dimostrato che $\Delta U_k = W$. Ora abbiamo visto che $W = -\Delta U_e$, il che implica che $\Delta U_k + \Delta U_e = 0$.

Il principio di sovrapposizione applicato al potenziale

Consideriamo una distribuzione discreta di $N$ cariche. Il campo elettrico è dato da $\vec{E} = \sum_{i=1}^N \vec{E}_i$. La differenza di potenziale tra due punti $A$ e $B$ sarà quindi:

$$ \Delta V = -\int_A^B \vec{E} \cdot d\vec{s} = -\int_A^B \sum_{i=1}^N \vec{E}_i \cdot d\vec{s} = -\sum_{i=1}^N \int_A^B \vec{E}_i \cdot d\vec{s} $$

Dalla definizione di potenziale possiamo riscrivere la differenza come:

$$ \Delta V = \sum_{i=1}^N \Delta V_i $$

Il che dimostra che il principio di sovrapposizione si applica anche al potenziale elettrostatico: la differenza di potenziale dovuta ad una distribuzione di cariche è uguale alla somma delle differenze di potenziale dovute alle singole cariche. Lo stesso risultato si estende a distribuzione di cariche continue, per le quali vale (analogamente a quanto visto per il campo e se scegliamo di imporre $C = 0$):

$$ V(r ) = \int dV = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int \frac{dq}{r} $$

dove l’integrale è esteso al volume contenente la distribuzione di carica.

Relazione inversa tra $\vec{E}$ e $V$

MNV: paragrafi 2.4 e 2.6

Consideriamo i due punti $\vec{A} = (x, y, z)$ e $\vec{B} = \vec{A} + d\vec{r}$, dove $d\vec{s} = \hat{x}dx + \hat{y}dy + \hat{z}dz$ è uno spostamento infinitesimo. La differenza di potenziale tra $\vec{A}$ e $\vec{B}$ dipende solamente dalle loro coordinate, quindi

$$ dV = V(x + dx, y + dy, z + dz) - V(x, y, z) = -\vec{E} \cdot d\vec{s} = -E_x dx - E_y dy - E_z dz $$

Consideriamo anche che, in maniera del tutto generale, il differenziale totale si scrive $dV = \frac{\partial V}{\partial x}dx + \frac{\partial V}{\partial y}dy + \frac{\partial V}{\partial z}dz$. Uguagliando membro a membro le due equazioni precedenti troviamo:

$$ E_x = -\frac{\partial V}{\partial x}, \quad E_y = -\frac{\partial V}{\partial y}, \quad E_z = -\frac{\partial V}{\partial z} $$

La relazione precedente si può riassumere dicendo che, in ogni punto dello spazio, il campo elettrostatico è uguale al gradiente del potenziale cambiato di segno. Di solito l’operatore gradiente si indica con il simbolo $\vec{\nabla}$ (detto nabla o del) e, in coordinate cartesiane, vale

$$ \vec{\nabla} = \frac{\partial}{\partial x}\hat{x} + \frac{\partial}{\partial y}\hat{y} + \frac{\partial}{\partial z}\hat{z} $$

Nota Bene: $\vec{\nabla}$ è un vettore e come tale si può quindi moltiplicare per un altro vettore sia scalarmente che vettorialmente.

Ora che abbiamo introdotto il concetto di gradiente possiamo riscrivere in forma locale il fatto che la circuitazione del campo elettrostatico sia sempre nulla. Lo facciamo applicando il teorema di Stokes, che afferma che la circuitazione di un campo vettoriale lungo un percorso chiuso $\mathcal{C}$ è uguale al flusso del rotore dello stesso campo attraverso una qualunque superficie $\Sigma$ avente per contorno $\mathcal{C}$. In formule:

$$ \oint \vec{E} \cdot d\vec{s} = \int_\Sigma \vec{\nabla} \times \vec{E} \cdot \hat{n} d\Sigma = 0, $$ dove $\hat{n}$ è il versore normale alla superficie. Poiché l’integrale a destra deve essere vero per qualunque $\Sigma$ che abbia come contorno $\mathcal{C}$, si deve avere, in ogni punto dello spazio,

$$ \vec{\nabla} \times \vec{E} = 0 $$

Ne deriva che il campo elettrostatico, essendo conservativo, è anche irrotazionale, cioè ha sempre rotore nullo. La relazione precedente, valida per il campo elettrostatico in ogni punto dello spazio, può essere dimostrata scrivendo esplicitamente le componenti del rotore e sostituendo alle componenti del campo le derivata del potenziale.

Cos’è il rotore di un campo vettoriale? È la cosiddetta “vorticità”, che dà un’idea della tendenza del campo vettoriale a formare vortici. Questa figura mostra un esempio:

Fine lezione 3

Superfici equipotenziali

MNV: paragrafo 2.5

Le superfici equipotenziali sono quei luoghi dei punti nello spazio per cui vale $V(x, y, z) = $ costante. Dato il rapporto che lega potenziale e campo, possiamo dire che per ogni punto passa solamente una superficie equipotenziale e le linee di campo sono sempre ortogonali alle superfici equipotenziali. Questa proprietà deriva dalle caratteristiche del gradiente.

Se disegniamo delle “superfici di livello” separate da $\Delta V$ costanti, più queste sono vicine più il campo localmente sarà forte (perché il potenziale varia più rapidamente!). Pensate alle linee di livello altimetriche:

Proviamo a disegnare le superfici equipotenziali dovute ad un piano carico indefinito o ad una carica singola.

Energia potenziale elettrostatica e conservazione dell’energia

MNV: paragrafo 2.3

Abbiamo già visto come un campo elettrostatico acceleri una carica puntiforme. Utilizzando il concetto di energia elettrostatica potenziale introdotto nei paragrafi precedenti possiamo applicare la conservazione dell’energia allo stesso problema. Se in un sistema sono presenti unicamente forze conservative la sua energia totale, $U = U_k + U_e$, è conservata, cioè rimane costante nel tempo.

Per quanto riguarda il moto di una particella carica $q_0$, sappiamo che la sua energia cinetica vale sempre $U_k = \frac{1}{2} m v^2(t)$. D’altro canto, abbiamo visto che la sua energia potenziale elettrostatica è legata al potenziale, $U_e = q_0 V(x(t), y(t), z(t))$. L’energia totale vale quindi:

$$ U = \frac{1}{2} m v^2(t) + q_0 V(x(t), y(t), z(t)) $$

Questa quantità è sempre conservata. Possiamo usare questa legge di conservazione per accelerare particelle: se passando dal punto $\vec{A}$ al punto $\vec{B}$ il potenziale diminuisce, per $q_0 > 0$ la particella viene accelerata (e viceversa). La possibilità di accelerare particelle microscopiche (come gli elettroni) tramite campi elettrici ha permesso lo sviluppo di applicazioni pratiche come il tubo catodico e alcuni acceleratori di particelle.

Come abbiamo visto, l’energia potenziale è legata al lavoro compiuto dalla forza cambiata di segno. L’energia potenziale elettrostatica di un sistema di cariche si può quindi interpretare come il lavoro che bisogna compiere per “costruire” quel dato sistema. Poniamo ad esempio di voler calcolare l’energia elettrostatica di un sistema di tre cariche, $q_1$, $q_2$ e $q_3$, poste a distanze relative $r_{12}$, $r_{13}$ e $r_{23}$. Partiamo da un sistema vuoto e posizioniamo la prima carica. Questa operazione è “a costo zero”, poiché nella regione di spazio non è presente alcun campo. L’energia potenziale vale quindi $U_e = 0$, ma nella regione è ora presente il campo generato da $q_1$, $\vec{E}_1$. Per posizionare la seconda carica dobbiamo muoverla dall’infinito alla sua posizione. Per farlo dobbiamo applicare una forza uguale e contraria a quella elettrostatica dovuta all’interazione tra $q_1$ e $q_2$, cioè $\vec{F} = -q_2\vec{E}_1$. Il lavoro compiuto da questa forza esterna sarà quindi:

$$ W_{\rm ext}^{(2)} = -q_2 \int_{\infty}^{r_{12}} \vec{E}_1 \cdot d\vec{s} = \frac{q_2 q_1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{1}{r_{12}} = \Delta U_e^{(2)} $$

Ricordiamo che la relazione tra il lavoro compiuto dalla forza elettrostatica e l’energia potenziale elettrostatica sono uguali a meno del segno, mentre qui, poiché la forza esterna necessaria è opposta a quella elettrostatica, le due quantità hanno le stesso segno. L’energia potenziale totale del sistema è, a questo punto, $U_e^{(2)} = \frac{q_2 q_1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{1}{r_{12}}$.

Nella regione di spazio sono ora presenti due campi, $\vec{E}_1$ ed $\vec{E}_2$, e quindi il lavoro svolto dalla forza esterna per posizionare correttamente $q_3$ sarà dato da due contributi:

$$ W_{\rm ext}^{(3)} = -q_3 \int_{\infty}^{r_{13}} \vec{E}_1 \cdot d\vec{s} - q_3 \int_{\infty}^{r_{23}} \vec{E}_2 \cdot d\vec{s} = \frac{q_3 q_1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{1}{r_{13}} + \frac{q_3 q_2}{4 \pi \epsilon_0} \frac{1}{r_{23}} $$

quindi l’energia potenziale totale del sistema sarà

$$ U_e = U_e^{(2)} + U_e^{(3)} = \frac{q_2 q_1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{1}{r_{12}} + \frac{q_3 q_1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{1}{r_{13}} + \frac{q_3 q_2}{4 \pi \epsilon_0} \frac{1}{r_{23}} $$

Più in generale applicando il principio di sovrapposizione si trova che l’energia potenziale di un sistema di cariche (cioè l’energia necessaria per assemblare il sistema) è data da

$$ U_e = \sum_{i > j} \frac{q_i q_j}{4 \pi \epsilon_0} \frac{1}{r_{ij}} $$

dove il pedice $i > j$ della somma fa sì che non si contino gli stessi contributi due volte.

Momento della forza su un dipolo elettrico

MVN: paragrafo 2.8

Consideriamo il caso di un dipolo immerso in un campo elettrostatico $\vec{E}$ uniforme. Poiché $\vec{E}$ è uniforme, le due cariche sentiranno forze uguali in modulo ($qE$) ma opposte in verso: la risultante è nulla e il dipolo non accelera. La coppia di forze però genera un momento meccanico diverso da zero, e quindi il dipolo tenderà, in generale, a ruotare. Scriviamo il momento delle forze rispetto al polo negativo, definendo $\vec{F}_+$ la forza agente sulla carica positiva:

$$ \vec{M} = \vec{a} \times \vec{F}_+ = \vec{a} \times (q \vec{E}_+) = \vec{a} \times (q \vec{E}) = q\vec{a} \times \vec{E} = \vec{p} \times \vec{E} $$

Per trovare l’energia potenziale associata ad un dipolo scriviamo il lavoro fatto dal momento meccanico. Disegniamo sul piano i vettori $\vec{p}$ ed $\vec{E}$ in maniera tale che il loro prodotto vettoriale sia diretto verso il piano, cioè lungo $-\hat{z}$. In questo caso abbiamo $\vec{M} = -pE \sin{\theta} \hat{z}$. Calcoliamo il lavoro fatto dal momento per portare l’angolo tra $\vec{p}$ ed $\vec{E}$ da $\theta_0$ a $\theta_1$:

$$ W = \int_{\theta_0}^{\theta_1} M d\theta = -pE \int_{\theta_0}^{\theta_1} \sin{\theta} d\theta = pE \cos{\theta_1} - pE \cos{\theta_0} $$

Ricordando la relazione tra lavoro ed energia potenziale ($W = -\Delta U_e$) si trova che:

$$ U_e = -\vec{p} \cdot \vec{E} $$

Prima equazione di Maxwell

MNV: paragrafo 3.4

Possiamo riscrivere il teorema di Gauss in forma locale utilizzando il teorema della divergenza:

$$ \oint_\Sigma \vec{E} \cdot \hat{n} dS = \int_\tau \vec{\nabla} \cdot \vec{E} d\tau = \frac{1}{\epsilon_0} \int_\tau \rho d\tau $$

Notiamo che ora sia a sinistra che a destra abbiamo un integrale sul volume. Possiamo quindi eguagliare gli argomenti dell’integrale, trovando

$$ \vec{\nabla} \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0} $$

Questa è la prima legge di Maxwell. Il prodotto scalare tra l’operatore gradiente ed un campo vettoriale è detto divergenza, e quindi la prima legge di Maxwell si può enunciare dicendo che “la divergenza del campo elettrico in ogni punto dello spazio è uguale alla densità di carica in quel punto, diviso per la costante dielettrica del vuoto”.

Utilizzando la definizione di potenziale la prima equazione di Maxwell può essere riscritta, ottenendo l’equazione di Poisson:

$$ \vec{\nabla} \cdot (-\vec{\nabla} V) = -\nabla^2 V = \frac{\rho}{\epsilon_0} $$ o, equivalentemente, $\nabla^2 V = -\frac{\rho}{\epsilon_0}$. La divergenza di un campo vettoriale ci dà informazioni sulla tendenza del campo a divergere o convergere nell’intorno di un punto dello spazio, come in questa figura:

Conduttori cavi, induzione completa e gabbia di Faraday

MNV: paragrafo 4.2

Consideriamo un conduttore carico cavo, cioè un conduttore che abbia al suo interno una cavità vuota. Se applichiamo il teorema di Gauss all’interno del conduttore, troviamo subito che $\vec{E} = 0$, quindi $Q_{\rm int} = 0$. Questo vale anche se calcoliamo il flusso attraverso una superficie che coincide con quella interna del conduttore, cioè la superficie che racchiude completamente la cavità. Si trova quindi che la carica totale interna è nulla, cioè che il numero di cariche positive e negative si bilanciano. Si potrebbe avere una configurazione di carica che rispetta questo vincolo se parti diverse della superficie interna fossero caricate positivamente e negativamente, in modo tale da dare una carica netta nulla. Dimostriamo che ciò non è possibile: se la superficie fosse caricata eterogeneamente, all’interno della cavità sarebbe presente un campo $\vec{E} \neq 0$, e la differenza di potenziale $\Delta V_{AB}$ calcolata tra due punti $A$ e $B$ della superficie su di un percorso passante nella cavità sarebbe anch’essa diversa da 0. Se però calcolassimo la differenza di potenziale tra $B$ ed $A$ su di un percorso che passa esclusivamente all’interno del conduttore troveremmo $\Delta V_{BA} = 0$. Questo è impossibile, perché la circuitazione del campo (cioè $\oint \vec{E} \cdot d\vec{s} = \Delta V_{AB} + \Delta V_{BA}$), è sempre nulla perché il campo elettrostatico è conservativo! Risulta quindi che:

• Il campo è nullo ovunque, anche all’interno della cavità

• Il potenziale è costante ovunque, anche all’interno della cavità

Prendiamo un conduttore $\mathcal{C}$ cavo privo di carica, e introduciamo un oggetto (conduttore o non) di carica $q$ all’interno della cavità. Per effetto dell’induzione,

1. la superficie interna di $\mathcal{C}$ acquisirà una carica $-q$

2. quella esterna una carica $q$.

Il primo punto si dimostra applicando il teorema di Gauss ad una superficie interna a $\mathcal{C}$ che racchiuda completamente la cavità. Poiché in ogni punto della superficie si ha $\vec{E} = 0$ (siamo all’interno di un conduttore!), anche il suo flusso sarà nullo e quindi, per il teorema, la carica contenuta sarà anch’essa nulla: la superficie interna del conduttore deve per forza di cose annullare il contributo dato dalla carica posta all’interno della cavità. In questo caso il fenomeno d’induzione è detto d’induzione completa: tutte le linee di forza che partono dalla carica nella cavità finiscono sulla superficie interna di $\mathcal{C}$ e quindi non c’è dispersione.

Il secondo punto si dimostra ricordando che il conduttore era neutro all’inizio, e quindi deve restare neutro. L’unico modo per mantenere la neutralità è che la superficie più esterna sia caricata con una carica $q$.

Le cariche della superficie interna si dispongono in modo tale da far sì che il campo dovuto al corpo nella cavità non si estenda all’interno del conduttore. Questo spazio tra le due superfici di $\mathcal{C}$ agisce quindi da schermo elettrostatico: le informazioni sulle distribuzioni di carica delle diverse superfici non passano dall’esterno all’interno e viceversa.

Questo effetto di schermo (che è perfetto in elettrostatica ma parziale in presenza di campi elettromagnetici generici) è utilizzato in moltissime applicazioni, spesso sotto il nome di gabbia di Faraday:

• Per ridurre il rumore di misure in laboratorio

• Nei cavi coassiali per schermare il segnale

• Gli ascensori agiscono spesso da gabbie di Faraday, limitando fortemente il segnale dei telefono

• Automobili ed aeroplani sono gabbie di Faraday, proteggendo i passeggeri dai fulmini!

• Per fare video fantastici

Collegamento di condensatori

MNV: paragrafo 4.4

I condensatori sono importantissimi in elettrotecnica, e sono utilizzati in praticamente qualunque circuito elettrico, dove sono indicati col simbolo:

I condensatori possono essere connessi tra di loro o con altri elementi per formare un circuito. I due modi di connessione più semplici sono:

• Connessione in parallelo: la differenza di potenziale ai capi dei condensatori (o degli elementi di circuito) è la stessa;

• Connessione in serie: la differenza di potenziale tra la prima e l’ultima armatura è fissa, cioè ogni elemento è connesso solamente a quello che lo segue.

Calcoliamo la capacità equivalente di due condensatori collegati in queste due configurazioni.

Polarizzazione

MNV: paragrafo 4.7

Se un materiale non ha cariche libere, l’unica maniera in cui può reagire alla presenza di un campo elettrico è polarizzarsi:

• Le nuvole elettroniche e i nuclei degli atomi tenderanno a spostarsi, rispettivamente, in direzione contraria e concorde al campo. Ogni atomo quindi acquisterà un momento di dipolo $\vec{p}_a = Ze \vec{x}$, dove $Ze$ è la carica atomica e $\vec{x}$ il vettore che separa il centro della carica negativa elettronica da quello del nucleo. Questo meccanismo è detto polarizzazione elettronica.

• In alcuni liquidi e gas, le molecole posseggono un momento di dipolo intrinseco (l’acqua ad esempio). In questi casi si può osservare anche la cosiddetta polarizzazione per orientamento: in presenza di un campo elettrico le molecole tenderanno ad orientarsi lungo la direzione del campo. In questo caso il momento di dipolo di ogli atomo/molecola è costante, ma l’allineamento medio col campo (e quindi il momento di dipolo macroscopico) è soltanto parziale perché disturbato dall’agitazione termica.

Il momento di dipolo medio $\langle \vec{p} \rangle$ di ogni atomo o molecola (indotto o intrinseco) è molto piccolo e parallelo al campo elettrostatico esterno $\vec{E}$, ma il numero enorme di atomi di cui i materiali sono composti fa sì che il campo totale generato assuma grandezza macroscopica. Se questo numero è $N$, il momento di dipolo totale è $N \langle \vec{p} \rangle$, e il momento di dipolo per unità di volume sarà

$$ \vec{P} = \frac{N}{\tau} \langle \vec{p} \rangle \equiv n \langle \vec{p} \rangle $$

dove $n$ è il numero di atomi o molecole per unità di volume e $\vec{P}$ è detto vettore polarizzazione e, come $\langle \vec{p} \rangle$, è parallelo ad $\vec{E}_{\rm tot}$.

Consideriamo un dielettrico solido: è lecito immaginare che, in presenza di un campo uniforme come quello generato da due armature piane, anche $\vec{P}$ sia uniforme (cioè supponiamo che il dielettrico sia polarizzato uniformemente), cioè abbia lo stesso valore ovunque nella lastra. Immaginiamo l’effetto del campo esterno: tutti gli atomi si polarizzano, con gli elettroni e i nuclei che si spostano lungo la direzione del campo. Per atomi o molecole nel centro del materiale questo spostamento non determina una vera e propria comparsa di una densità di carica, perché la distanza tra i centri della nuvola elettronica e del nucleo di atomi o molecole polarizzate è minuscola rispetta alle scale macroscopiche, e quindi la carica, localmente, si compensa, risultando ovunque nulla. Di converso, le regioni superficiali inferiore e superiore risulteranno cariche poiché nessuna compensazione è possibile. Dato che queste regioni hanno uno spessore comparabile con la taglia atomica, la densità di carica si può considerare a tutti gli effetti superficiale. Questa densità di carica, che ha segno opposto a quella dell’armatura che ha di fronte, è ciò che genera il campo che si contrappone al campo esterno e che abbiamo chiamato $\sigma_p$. Infatti, se prendiamo un parallelepipedo infinitesimo di materiale, il suo momento di dipolo indotto varrà $\vec{p} = \vec{P} d\tau = P d\Sigma d\vec{h}$ avendo scelto $d\vec{h}$ parallelo a $\vec{P}$. Possiamo immaginare che questo momento di dipolo sia generato da due cariche $q_p = \pm P d\Sigma$ poste a distanza $d\vec{h}$ e distribuite sulle superfici con densità $\pm \sigma_p = \pm q_p / d\Sigma = \pm P$.

Nota Bene: la densità di carica $\sigma_p$ è dovuta a spostamenti microscopici locali e non alla presenza di cariche libere, come invece accade nei conduttori.

La relazione $\sigma_p = P$ può essere generalizzata a superfici non parallele al campo $\vec{E}$ considerando, invece della superficie del volumetto la sua sezione, che vale $d\Sigma \cos{\theta}$, dove $\theta$ è l’angolo tra la normale alla superficie e il vettore polarizzazione. Si ottiene:

$$ \sigma_p = \vec{P} \cdot \hat{n} $$

Con questa formula otteniamo automaticamente che una superficie sia caricata positivamente e l’altra negativamente (provare per credere, considerando l’orientazione del campo costante e ricordando che la normale ad una superficie punta sempre verso l’esterno).

Conseguenze macroscopiche della polarizzazione

MNV: paragrafo 4.6

Consideriamo il caso semplice di un condensatore di superficie $\Sigma$, distanza fra le armature $h$ e pieno di un materiale dielettrico. Carichiamo il condensatore con una carica $q$. Nel vuoto questa configurazione genererebbe un campo $\vec{E}_0$ che stabilisce una differenza di potenziale $\Delta V_0 = E_0 h$ tra le armature. D’altro canto, in presenza del dielettrico il campo $E_0$ polarizzerà il dielettrico, che acquisterà una polarizzazione $\vec{P}$, e sulla superficie del dielettrico appariranno densità di carica $\pm \sigma_p = P$ (nel caso di un condensatore piano). Nel caso più semplice (l’unico che considereremo) di dielettrici lineari, si trova sperimentalmente che $\vec{P}$ è parallelo a $\vec{E}_0$ e

$$ \sigma_p = \frac{\kappa-1}{\kappa}\sigma < \sigma, $$

e quindi

$$ q_p = \frac{\kappa - 1}{\kappa} q < q $$

dove $\kappa$ è detta costante dielettrica relativa del dielettrico ed è una proprietà del materiale: non dipende dalla forma delle armature, dalle loro dimensioni o da quanto sono caricate. Nota Bene: $\kappa$ non ha associata alcune unità di misura: è un numero adimensionale. In altri libri il simbolo per questa quantità è $\epsilon_r$.

Poiché di fronte all’armatura carica positivamente si trova una densità di carica di polarizzazione negativa (e viceversa), il campo generato dal dielettrico avrà segno opposto rispetto a quello generato dalle armature, e il modulo del campo totale varrà

$$ E_{\rm tot} = E_0 - E_d = \frac{\sigma}{\epsilon_0} \frac{\kappa-1}{\kappa}\frac{\sigma}{\epsilon_0} = \frac{\sigma}{\kappa \epsilon_0} = \frac{E_0}{\kappa}. $$

Si trova quindi che il campo totale all’interno del condensatore è ridotto di un fattore $\kappa$. Considerando che $\Delta V_0 = E_0 h$ e $\Delta V = E_{\rm tot} h$, si trova che anche la d.d.p. viene ridotta dello stesso fattore, cioè che $\Delta V = \Delta V_0 / h$.

La capacità del sistema condensatore$+$dielettrico è anch’essa variata e vale:

$$ C = \frac{q_0}{\Delta V} = \kappa \frac{q_0}{\Delta V_0} = \kappa C_0 $$

Più la costante dielettrica relativa è maggiore, più la capacità è grande!

Nei materiali amorfi (cioè non cristallini) le proprietà dielettriche sono determinate da due valori: la costante dielettrica relativa e la rigidità dielettrica, cioè il valore massimo del campo oltre il quale l’isolante viene danneggiato irreparabilmente. L’aria ha $\kappa \simeq 1$, mentre l’acqua ha $\kappa \simeq 80$.

Troviamo ora una relazione che lega $\vec{P}$ ed $\vec{E}_{\rm tot}$. Abbiamo visto prima che, dati i meccanismi di polarizzazione, i due campi vettoriali devono essere paralleli. Per i moduli vale invece

$$ P = \sigma_p = \frac{\kappa - 1}{\kappa}\sigma = (\kappa - 1) \epsilon_0 \frac{E_0}{\kappa} = \epsilon_0 (\kappa - 1) E_{\rm tot}. $$

Abbiamo trovato una relazione di linearità, che vale per quei materiali detti dielettrici lineari (e che di solito è valida per campi non troppo intensi). In questo caso la relazione che lega il vettore polarizzazione al campo si scrive:

$$ \vec{P} = \epsilon_0 (\kappa - 1) \vec{E} = \epsilon_0 \chi \vec{E} $$

con $\chi = \kappa - 1$ chiamata suscettività elettrica del dielettrico.

Legge di Gauss in presenza di dielettrici

MNV: paragrafo 4.8

In presenza di dielettrici, il fenomeno della polarizzazione fa sì che appaiano delle cariche indotte sulle superfici dei dielettrici. Consideriamo un condensatore piano riempito con un dielettrico e applichiamo il teorema di Gauss ad una superficie che include una sola armatura. Si avrà che

$$ \Phi(\vec{E}) = \oint \vec{E} \cdot \hat{n} d\Sigma = \frac{q + q_p}{\epsilon_0} $$

perché il teorema di Gauss ci dice che dobbiamo considerare tutte le cariche presenti all’interno della superficie. Utilizziamo la relazione che lega $\vec{P}$ ed $\vec{E}$:

$$ \oint (\epsilon_0 \kappa \vec{E} - \vec{P}) \cdot \hat{n} d\Sigma = q + q_p $$

Notiamo che $\kappa \vec{E} = \vec{E}_0$ è il campo che si avrebbe se non ci fosse il dielettrico. Poiché $\epsilon_0 \Phi (\vec{E}_0) = q$, si deve avere

$$ -\oint \vec{P} \cdot \hat{n} d\Sigma = q_p $$

Sottraendo questa quantità da $\epsilon_0 \Phi(\vec{E})$ si ottiene

$$ \oint (\epsilon_0\vec{E} + \vec{P}) \cdot \hat{n} d\Sigma = q $$

che può essere riscritta definendo il vettore di induzione dielettrica $\vec{D} = \epsilon_0 \vec{E} + \vec{P}$:

$$ \oint \vec{D} \cdot \hat{n} d\Sigma = q. $$

Questa relazione è nota come legge di Gauss per l’induzione dielettrica e può essere riscritta in forma locale tramite il teorema della divergenza come visto in precedenza:

$$ \vec{\nabla} \cdot \vec{D} = \rho $$

Possiamo utilizzare le relazioni che legano $\vec{D}$, $\vec{P}$, ed $\vec{E}$ per trovare il rapporto tra il vettore di induzione dielettrica e il campo:

$$ \vec{D} = \epsilon_0 \vec{E} + \vec{P} = \epsilon_0 \vec{E} + \epsilon_0 (\kappa - 1) \vec{E} = \epsilon_0 \kappa \vec{E} \equiv \epsilon \vec{E} $$

dove $\epsilon$ è detta costante dielettrica assoluta. Ovviamente, per $\kappa = 1$ (relazione strettamente valida solamente nel vuoto) $\epsilon = \epsilon_0$.

Con questa definizione si trova, ad esempio,

• che $\vec{D} = \sigma_0 \hat{n}$ all’interno di un dielettrico posto in un condensatore piano. Per vederlo basta utilizzare la relazione $E = \frac{\sigma_0}{\epsilon_0} - \frac{k - 1}{k}\frac{\sigma_0}{\epsilon_0}$ e moltiplicarla per $\epsilon$;

• che la densità di energia elettrostatica del campo ha un’espressione equivalente a quella nel vuoto, $u_e = \frac{1}{2}\epsilon E^2 = \frac{1}{2}\frac{D^2}{\epsilon}$

Fine lezione 7