Definizioni e convenzioni

MNV: paragrafo 12.2

Ecco alcune definizioni necessarie:

• L’ oggetto è un corpo (puntiforme o meno) che emette (o diffonde) luce

• L’insieme (fascio) dei raggi emessi dall’oggetto interagiscono con l’apparato ottico, venendone deviati. Il fascio di raggi che ne deriva è chiamato immagine dell’oggetto.

  • L’immagine è reale se i raggi passano effettivamente per essa.

  • L’immagine è virtuale se i prolungamenti dei raggi passano per essa.

• Un apparato (strumento) ottico è detto stigmatico se i raggi che escono da uno stesso punto dell’oggetto si incontrano tutti, dopo aver interagito con lo strumento ottico, in un solo punto. I due punti (uno sull’oggetto, uno sull’immagine) sono detti coniugati. In generale la condizione di stigmatismo è difficile da ottenere, e di solito è legata a raggi emessi in una direzione (quasi) parallela all’asse dello strumento. Noi cominceremo col considerare solamente questo caso.

• Le superfici catrottiche o specchi sono superfici su cui avviene unicamente il fenomeno della riflessione. La legge che lega gli angoli di incidenza e riflessione non dipende dalle proprietà dei due mezzi, quindi raggi di diversa lunghezza d’onda hanno traiettorie identiche.

• Le superfici diottriche o diottri sono superfici su cui avviene unicamente il fenomento della rifrazione. Poiché la legge di Snell dipende dagli indici di rifrazione dei mezzi e questi, a loro volta, dipendono dalla lunghezza d’onda della luce incidente, raggi aventi la stessa direzione ma lunghezza d’onda diversa percorreranno, in generale, traiettorie diverse. Il sistema ottico, in queste condizioni, è astigmatico. Uno stesso oggetto darà quindi immagini diverse, dando luogo ad un fenomeno noto come cromatismo, che si può risolvere utilizzando una successione di superfici diottriche, costruendo quindi uno strumento acromatico.

In quel che segue utilizzeremo la geometria per derivare le leggi che determinano le traiettorie di raggi di luce in presenza di superfici diottriche e catrottiche. Per semplificare la descrizione utilizziamo le seguenti definizioni e convenzioni (vedi box giallo alla fine del paragrafo 12.2 dell’MNV):

• la luce incidente proviene da sinistra.

• $V$ indica il punto in cui la superficie (diottrica o catrottica) interseca l’asse di simmetria del sistema.

• $P$ indica la posizione dell’oggetto, $Q$ quella delll’immagine.

• $p$ indica la distanza dell’oggetto da $V$, che prendiamo positiva se $P$ è a sinistra di $V$, negativa altrimenti.

• $q$ indica la distanza dell’immagine da $V$, che prendiamo negativa se $Q$ è a sinistra di $V$, positiva altrimenti (convenzione contraria rispetto a $p$).

• Se abbiamo a che fare con una superficie curva, definiamo $R$ il suo raggio di curvatura. $R$ è positivo se il centro di curvatura si trova a destra di $V$ (superficie convessa), negativo altrimenti (superficie concava).

• Gli angoli che i raggi formano con l’asse di simmetria (asse ottico) sono positivi se considerati nel verso antiorario a partire dall’asse se ci troviamo a sinistra di $V$, positivi nel verso orario se ci troviamo a destra di $V$.

• Le distanze (che indicheremo con $y$) dall’asse ottico sono

  • positive per punti al di sopra dell’asse e negative altrimenti se stiamo considerando l’oggetto

  • negative per punti al di sopra dell’asse e positive altrimenti se stiamo considerando l’immagine

Specchio sferico concavo

Consideriamo uno specchio sferico concavo (cioè una superficie catrottica sferica concava) e un oggetto puntiforme $P$ sull’asse. In queste condizioni $R < 0$ e $p > 0$. Tracciamo un raggio che da $P$ porta allo specchio nel punto $H$ e che, venendo riflesso, colpisce l’asse ottica nel punto $Q$. L’angolo che il raggio forma con l’asse è $\theta$. Se definiamo $O$ il centro di curvatura dello specchio, la normale alla superficie nel punto $H$ è il segmento $OH$. Definiamo $\theta_i$ l’angolo di incidenza (cioè l’angolo formato dai segmenti $PH$ e $OH$), $\theta_r = \theta_i$ l’angolo di riflessione (cioè l’angolo formato dai segmenti $OH$ e $QH$), $\alpha$ l’angolo formato da $OH$ e dall’asse ottico, $\theta’$ l’angolo formato da $QH$ e dall’asse ottico. Ricordando che la somma degli angoli interni di un triangolo ($\pi$) è uguale alla somma di un angolo interno più il suo angolo esterno associato si ricava la nota proprietà dei triangoli per cui l’angolo esterno di un triangolo è uguale alla somma dei due angoli interni non adiacenti. Applicando questa relazione al triangolo $PHO$ si ottiene

$$ \alpha = \theta + \theta_i $$

mentre per il triangolo $OHQ$ si trova

$$ \theta’ = \alpha + \theta_r = \alpha + \theta_i. $$

Risolvendo per $\theta_i$ e sostituendo troviamo

$$ \theta + \theta’ = 2 \alpha. $$

Questa relazione ha carattere generale. Da questa possiamo ottenere una semplice relazione che leghi $p$, $q$ ed $R$ nell’approssimazione di angoli piccoli, quando cioè vale $\sin \theta \approx \tan \theta \approx \theta$, $\sin \theta’ \approx \tan \theta’ \approx \theta’$ e $\sin \alpha \approx \tan \alpha \approx \alpha$. Tracciamo il segmento $h$ che unisce perpendicolarmente $H$ all’asse ottico nel punto $H’$, generando così tre triangoli rettangoli aventi $h$ in comune. Poiché gli angoli sono piccoli, $H’$ e $V$ sono molto vicini e quindi $PH’ \approx PV$, $OH’ \approx OV$ e $QH’ \approx QV$, quindi

$$ h \approx PV \tan \theta \approx PV \theta $$

$$ h \approx QV \tan \theta’ \approx QV \theta’ $$

$$ h \approx OV \tan \alpha \approx OV \alpha. $$

Ricordando le definizioni e convenzioni date prima si trova

$$ PV = p, \quad QV = -q, \quad OV = -R $$

e quindi

$$ \theta = \frac{h}{p}, \quad \theta’ = -\frac{h}{q}, \quad \alpha = -\frac{h}{R}. $$

Sostituendo queste relazioni nell’equazione che lega gli angoli otteniamo

$$ \frac{1}{p} - \frac{1}{q} = -\frac{2}{R} $$

che è detta equazione dello specchio sferico concavo nell’approssimazione parassiale, cioè per angoli piccoli. Poiché in questa equazione non compaiono gli angoli, tutti i raggi uscenti da $P$ si incontrano nello stesso punto $Q$, quindi questo tipo di strumento ottico, in questa approssimazione, è stigmatico.

Applichiamo ora l’equazione dello specchio per trovare $q$ (la distanza dell’immagine dallo specchio) al variare di $p$ (la distanza dell’oggetto dallo specchio). Quando $P$ è molto lontano $p \to \infty$, i raggi sono essenzialmente paralleli all’asse e si trova

$$ q = R/2 \equiv f, $$

dove $f$ è detta distanza focale dello specchio. I raggi si incontrano tutti in un unico punto $F$ distante $-f$ dal vertice detto fuoco dello specchio. Nel caso di uno specchio concavo $R$ è negativo quindi $f < 0$. L’equazione dello specchio concavo si può riscrivere utilizzando $f$:

$$ \frac{1}{p} - \frac{1}{q} = -\frac{1}{f}. $$

Man mano che $p$ diminuisce (e $P$ si avvicina ad $O$), $q$ aumenta in modulo, diventando via via più negativo e quindi $Q$ si allontana da $V$. Quando $P$ ed $O$ coincidono si ottiene l’equazione

$$ -\frac{1}{q} = -\frac{1}{f} + \frac{1}{2f} = -\frac{1}{2f} = -\frac{1}{R} $$

che dimostra come oggetto e immagine coincidano. Se l’oggetto si trova alla destra di $O$, $q$ diminuisce di valore (ma aumenta in modulo) finché non prende il valore $-\infty$ quando $P$ è nel fuoco: quando mettiamo l’oggetto nel fuoco di uno specchio sferico concavo, i raggi generati hanno traiettoria parallela all’asse.

Se $P$ viene posto oltre al fuoco $F$ i raggi riflessi divergono e l’immagine sembra provenire da un punto posto alla destra di $V$ ed è cioè virtuale. Si trova infatti che se $p$ è minore di $-f$ il valore di $q$ deve essere positivo (come da convenzione).

Quanto detto sopra vale strettamente solo per oggetti posti sull’asse ottico, ma è approssimativamente vero anche per punti vicini (ma non sovrapposti) all’asse. Utilizzando quindi la stessa legge dello specchio è possibile calcolare l’immagine $QQ’$ di un oggetto esteso $PP’$. Per farlo è sufficiente tracciare due o più raggi che partono da $P’$ e vedere dove si intersecano. Ad esempio si può tracciare un raggio parallelo all’asse (che si rifletterà sulla superficie e passerà per il fuoco) e un raggio che passi per il centro di curvatura (che verrà riflesso lungo la stessa traiettoria). Se l’immagine è reale $QQ’$ risulta capovolta, se l’immagine è virtuale $QQ’$ risulta dritta. Inoltre, in generale l’immagine avrà una dimensione diversa rispetto all’oggetto. Il rapporto tra le due altezze è detto ingrandimento trasversale ed è definito come

$$ I = \frac{y’}{y} $$

dove $y’$ e $y$ sono, rispettivamente, l’altezza dell’immagine e dell’oggetto. Questo rapporto si può calcolare disegnando i raggi e notando che i triangoli $PP’O$ e $OQQ’$ sono simili e quindi, poiché hanno i lati proporzionali, si ottiene

$$ I = \frac{q - R}{p + R} = -\frac{q}{p}, $$

dove l’ultima relazione si ottiene applicando l’equazione dello specchio concavo. Lo specchio concavo restituisce immagini reali, capovolte e rimpicciolite se $p > -f$ o virtuali, dritte e ingrandite se $P$ è tra $F$ e $V$.

Specchio sferico convesso

La costruzione geometrica fatta prima può essere estesa al caso di superficie sferica convessa. Se disegniamo il sistema si vede subito come, indipendentemente da $p$, l’immagine che si forma non può essere che virtuale, quindi $q > 0$. In questo caso si trova

$$ 2 \alpha = \theta’ - \theta $$

e, nella stessa approssimazione precedente (ma ricordando che in questo caso $R > 0$), si ottiene $\frac{1}{q} - \frac{1}{p} = \frac{2}{R}$ e quindi

$$ \frac{1}{p} - \frac{1}{q} = -\frac{2}{R} $$

cioè, formalmente, la relazione ottenuta precedentemente. Nota Bene: le equazioni sono uguali ma in un caso (specchio concavo) $R < 0$, nell’altro (specchio convesso) $R > 0$.

Quando $p = \infty$, cioè quando i raggi sono paralleli all’asse, si trova che i prolungamenti dei raggi riflessi passano tutti per il punto $F$ distante $R / 2$ dal vertice, anche in questo caso detto fuoco dello specchio. La distanza $f = R / 2$ è la distanza focale, come nel caso precedente, e ci permette di riscrivere l’equazione dello specchio:

$$ \frac{1}{p} - \frac{1}{q} = -\frac{1}{f}. $$

In questo caso $f > 0$ e quindi si nota immediatamente come $q$ sia sempre positiva perché data da una somma di numeri positivi:

$$ \frac{1}{q} = \frac{1}{p} + \frac{1}{f}. $$

In generale i risultati ottenuti per lo specchio concavo si estendono al caso convesso (oggetti non puntiformi, ingradimento, ecc), con la differenza che $f$ e $q$ sono entrambi sempre positivi. In particolare, si trova che l’immagine è sempre virtuale, dritta e rimpicciolita.

Quando $R \to \infty$ uno specchio (concavo o convesso che sia) diventa piano. In questo caso si trova $p = q$, l’immagine è quindi sempre virtuale (perché sia $p$ che $q$ sono maggiori di 0) e le dimensioni restano invariate ($I = -1$).