${\bf\circlearrowright\,}$ Ginnastica riepilogativa

Già nelle applicazioni precedenti abbiamo cercato di mostrare come si passi da una distribuzione all'altra nell'ambito di uno stesso problema. Non ci si deve abituare a pensare ``problema della binomiale'', al ``problema dell poissoniana'' e così via, come fanno i bambini quando chiedono se il problema è ``quello del più'' o ``quello del per''. Facciamo un esempio, che può risultare artificioso, ma che sicuramente dovrebbe servire alla scopo. Consideriamo 23 classi di 30 studenti ciascuna. Ogni studente esegue l'esperienza del pallinometro a 32 file di chiodi e, nell'ambito di ogni classe si calcola la media del numero di palline che cade nel bin 10. Quanto vale la probabilità che almeno 2 delle 23 medie sia maggiore di 153? Quanto vale la probabilità di avere esattamente 3 medie che soddisfano tale condizione?

Risolviamo il problema in modo schematico, lasciando i conti per esercizio:

$$P(bin_i) = f(i\,\vert\,{\cal B}_{32, \frac{1}{2}})$$

$$\char93 \, \,bin_i \sim {\cal B}_{10000, P(bin_i)}$$

$$\rightarrow \sim {\cal P}_{\lambda=10000\,P(bin_i)}$$

$$\mbox{media 30 stud. in $bin 10$} \rightarrow \sim {\cal N}\left(10000\,P(bin\,10), \frac{\sqrt{10000\,P(bin\,10)}}{\sqrt{30}}\right)$$

$$P( \ge 153) \rightarrow$$ vedi tabelle distr. normale

$$\char93 \,( \ge 153) \sim {\cal B}_{23, P(\mbox{media} \ge 153)}$$

$$P(\char93 \,( \ge 153)\ge 3) = 1-F(2\,\vert\,{\cal B}_{23, P(\mbox{media} \ge 153)})$$

$$P(\char93 \,( \ge 153)=3) = 19.55\,\%.$$

Nel penultimo passaggio $F(\,)$ indicava la distribuzione cumulativa. Il risultato finale è dato per permettere di verificare i conti.