pzd100Le distribuzioni osservate ``erano'' sempre molto poco probabili!

Nei paragrafi precedenti abbiamo confrontato più volte le previsioni delle distribuzioni statistiche con quanto ottenuto nelle esperienze simulate e, praticamente, ogni volta queste ultime erano in ottimo accordo con le aspettative (tenendo conto delle incertezze di previsione). Al fine di togliere di mente a qualcuno che si fosse fatto l'idea strana che ``la distribuzione sperimentale si è verificata perché era altamente probabile'', calcoliamo ora la probabilità di una particolare distribuzione. Per semplicità, consideriamo nuovamente l'esperienza del contatore, ed, in particolare, l'esperimento del numero di conteggio a tempi prefissati. Cominciamo con il caso di $T=3\,$s. Le probabilità sono già state riportate nella tabella 7.3. Le previsioni della frequenza dei possibili numeri di conteggi osservabili in 100 misure sono:

$$\char93 (0\, ) = 58.6\pm 4.9$$

$$\char93 (1\, ) = 31.3\pm 4.6$$

$$\char93 (2\, ) = 8.4\pm 2.7$$

$$\char93 (3\, ) = 1.5\pm 1.2$$

$$\char93 (4\, ) = 0.2\pm 0.4$$

$$\char93 (\ge 5\, ) = 0.02\pm 0.15$$

La distribuzione osservata, con una frequenza di conteggi da 0 a 4 rispettivamente di 56, 32, 9, 2 e 1 occorrenze, è in ottimo accordo con le previsioni. Ciò nonostante la probabilità di osservare tale risultato (ovviamente ``prima'' dell'esperimento, o comunque non conoscendone l'esito), è molto piccola, come calcolabile facendo uso della distribuzione multinomiale^7.3 e delle probabilità della tabella 7.3:

$$\frac{100!}{56!\,32!\,9!\,2!\,1!}\, 0.586^{56}\cdot 0.313^{32}\cdot 0.0836^9\cdot 0.0149^2 \cdot 0.0020^1 = 4.5\times 10^{-4}\,.$$

Per confronto, riportiamo nella tabella 7.6 altre distribuzioni che sarebbero ugualmente risultate in ``buon accordo'' con le previsioni ($R_1$-$R_5$), altre per le quali l'accordo sarebbe stato giudicato ``marginale'' ($R_6$-$R_{10}$) e altre che sarebbero risultate ``sospette'' ($R_{11}$-$R_{15}$).

Tabella: Possibili risultati di 100 misure di conteggio da 3 secondi relative ad un fenomeno descritto da un processo di Poisson di intensità $r=0.178$ conteggi al secondo.

Risultati	Numero di conteggi								Probabilità
	0	1	2	3	4	5	6	7
$R_1$	56	32	9	2	1	0	0	0	$4.5\times 10^{-4}$
$R_2$	63	29	7	3	0	0	0	0	$1.1\times 10^{-3}$
$R_3$	59	31	8	2	0	0	0	0	$2.6\times 10^{-3}$
$R_4$	54	36	7	2	1	0	0	0	$2.8\times 10^{-4}$
$R_5$	55	34	10	1	0	0	0	0	$2.2\times 10^{-3}$
$R_6$	52	37	8	3	0	0	0	0	$5.2\times 10^{-4}$
$R_7$	70	22	5	2	1	0	0	0	$2.4\times 10^{-5}$
$R_8$	69	26	4	0	1	0	0	0	$4.2\times 10^{-5}$
$R_9$	53	29	13	3	1	1	0	0	$1.1\times 10^{-6}$
$R_{10}$	52	27	15	5	0	1	0	0	$1.5\times 10^{-7}$
$R_{11}$	45	28	18	5	3	1	0	0	$7.4\times 10^{-12}$
$R_{12}$	71	19	2	1	3	1	2	1	$3.0\times 10^{-20}$
$R_{13}$	90	5	2	1	0	1	0	1	$3.0\times 10^{-20}$
$R_{14}$	24	52	0	8	0	4	4	8	$3.7\times 10^{-73}$
$R_{15}$	0	100	0	0	0	0	0	0	$3.7\times 10^{-51}$

Si noti comunque che nessuna delle distribuzioni è incompatibile con le previsioni. Questo dovrebbe servire ad abituarsi all'idea che una legge probabilistica non può mai essere falsificata. Al più, si potrà attribuire ad essa un basso grado di fiducia alla luce dei dati osservati e della possibilità di altre ipotesi.

Si noti inoltre come la probabilità di una possibile distribuzione dipende da quanti sono i possibili esiti che hanno probabilità confrontabile fra loro e per i quali ci si attende una frequenza di conteggio sostanzialmente diversa da zero. Ad esempio le misure di conteggio a 100 secondi (tabella 4.1) mostrano un buon accordo con le previsioni (tabella 7.3), ma la loro probabilità sarebbe stata

$$P(n_8=1, n_9=1, \ldots n_{17}=11, n_{18}=13, \ldots) = 3.3\times 10^{-19}\,.$$

Finora abbiamo considerato soltanto la probabilità di distribuzioni statistiche, ovvero avendo già raggruppato i possibili esiti sotto forma di tabella e avendo considerato la frequenza con la quale ciascun esito si può verificare. Non si è tenuto conto dell'ordine con cui si possono presentare i possibili esiti. Nel caso dei dati del contatore per $T=3\,$s la probabilità di osservare una sequenza come quella della tabella 1.1 vale:

$$P(\{0,0,0,0,0,,2,1,\cdots,1,0,0\}) = 0.586^{56}\cdot 0.313^{32}\cdot 0.0836^9 \cdot$$

$$0.0149^2 \cdot 0.0020^1$$

$$= 6.5\times 10^{-46}\,.$$

Il motivo per cui la probabilità della distribuzione è invece 42 ordini di grandezze maggiore è dovuto al grandissimo numero di sequenze che possono produrre la stessa distribuzione, dato dal coefficiente multinomiale

$$\frac{100!}{56!\,32!\,9!\,2!\,1!}= 0.69\times 10^{42}\,.$$

Ovviamente, nel caso delle misure da 100 secondi la probabilità della particolare sequenza sarà ancora più piccola, ed esattamente

$$P(\{14,22,13,\cdots, 20, 22\})=6.6\times 10^{-125}$$

e, ciò nonostante, ...l'abbiamo osservata. Si faccia quindi attenzione ad espressioni fuorvianti del tipo ``praticamente impossibile'' riferito ad eventi che riteniamo molto poco probabili (ad esempio aventi probabilità inferiore a $10^{-6}$). È vero sì che essi possono avere probabilità ``praticamente nulla'', ma non è corretto escludere tali eventi dalle nostre considerazioni, altrimenti può accadere, come nell'esempio che stiamo trattando, di dover escludere tutti i possibili esiti dell'esperimento.