Distribuzione di Poisson

Per come è stata descritta l'esperienza simulata del contatore a scintillazione (vedi paragrafo 1.1), gli eventi che danno luogo a dei conteggi sono modellizzabili secondo un processo di Poisson costante nel tempo. Contrariamente al caso del pallinometro, per il quale si possono fare previsioni probabilistiche utilizzando soltanto argomenti di simmetria, in questo caso abbiamo bisogno anche di conoscere l'intensità del processo, ovvero il numero di eventi attesi per unità di tempo. A rigore, per fare questo bisogna applicare la cosiddetta inferenza statistica, per poter ricavare dai dati l'informazione necessaria che ci permetterà poi di effettuare previsioni probabilistiche quantitative in situazioni analoghe. Risolviamo, per ora, il problema nel seguente modo: consideriamo le misure da 300 s come ``informazione statistica''; da essa ci ricaviamo il valore dell'intensità del processo di Poisson durante quel periodo; assumendo la costanza del processo durante le altre misure possiamo fare delle previsioni probabilistiche. Il motivo per cui si sceglie la serie di misure da 300 s è abbastanza ovvio: estendendosi esse per un tempo totale molto lungo ( $100\times 300\,$s$=8.3\,$h) si può considerare, per dirla alla buona, che la conoscenza sul processo acquisita durante questo tempo sia ``molto solida''.

Poiché sono stati registrati 5348 conteggi in 30000 secondi (vedi tabelle 1.1 e 5.4) si ha^7.2

$$r = \frac{5348\,\mbox{conteggi}}{30000\,\mbox{s}} = 0.178\,\mbox{conteggi}/\mbox{s}\,.$$

La probabilità dei possibili numeri di conteggi che si osserveranno in un tempo $T$ è descritta quindi da una poissoniana con parametro $\lambda_T = r\,T$. Riportiamo in tabella 7.3 le probabilità dei diversi numeri di conteggio per tempi di misura da $3$ a $100$ secondi.

Tabella: Esperienza del contatore: probabilità dei conteggi calcolate utilizzando il valore di l'intensità del processo di Poisson $r=0.178\,$conteggi/s ricavato dalle misure da 300 s. I valori di probabilità sono in percento e sono riportati solo se superiori a 0.005%. I valori di massima probabilità per ciascun tempo di misura sono indicati in grassetto. I valori in grassetto indicano la regione al di là di $\pm 1\,\sigma$ dal valore atteso (arrotondando all'intero).

conteggi	$T = 3\,s$	$T = 6\,s$	$T = 12\,s$	$T = 30\,s$	$T = 100\,s$
0	58.63	34.37	11.81	0.48
1	31.31	36.71	25.23	2.56
2	8.36	19.60	26.94	6.84
3	1.49	6.98	19.19	12.17
4	0.20	1.86	10.25	16.25	0.01
5	0.02	0.40	4.38	17.35	0.03
6		0.07	1.56	15.44	0.08
7		0.01	0.48	11.78	0.21
8			0.13	7.86	0.47
9			0.03	4.67	0.92
10				2.49	1.64
11				1.21	2.65
12				0.54	3.93
13				0.22	5.34
14				0.08	6.84
15				0.03	8.12
16				0.01	9.03
17					9.45
18					9.35
19					8.76
20					7.80
21					6.61
22					5.35
23					4.14
24					3.07
25					2.18
26					1.50
27					0.99
28					0.63
29					0.38
30					0.23
31					0.13
32					0.07
33					0.04
34					0.02
35					0.01
36					0.01
E$(X)=\lambda$	0.534	1.068	2.136	5.340	17.80
$\sigma(X)=\sqrt{\lambda}$	0.734	1.03	1.46	2.31	4.22

In fondo alla tabella riportiamo anche previsioni e incertezze di previsioni del numero di conteggi. Ovviamente, volendo confrontare questa tabella con la tabella 4.1 che riporta le frequenze dei conteggi ``osservati'' nell'esperimento simulato, ci aspettiamo che ``molto probabilmente'' le frequenze osservate saranno intorno a quelle previste, come ci insegnano le regole della probabilità.