${\bf\circlearrowright\,}$ Distribuzione esponenziale

Occupiamoci ora dell'intervalli di tempo che intercorre fra due conteggi successivi, ovvero del tempo di attesa per registrare un conteggio a partire da un istante arbitrario. Si tratta di un numero aleatorio continuo descritto da una distribuzione esponenziale negativa

$$f(t) = r\, e^{-r\,t}\,,$$

con $r=0.178\,$s$^{-1}$. Più comunemente è scritta in termini di $\tau =1/r$ come

$$f(t) = \frac{1}{\tau}\, e^{-t/\tau}\,,$$

con $\tau=5.62\,$s. Da questa distribuzione possiamo derivare tutte le affermazioni probabilistiche di interesse.

• Previsione e incertezza di previsione valgono
  

  $$(T) = \tau = 5.62$$

  $$\sigma(T) = \tau = 5.62\,:$$

  
  
  quindi ci aspettiamo grandi fluttuazioni dei tempi osservati.
• Fissati dei valori di tempo, ad esempio 1, 2, 4, 10 e 20 secondi, possiamo calcolare le probabilità di osservare un tempo di attesa inferiore o uguale ad essi
  

  $$P(T\le 1\, ) = 16.3\,\%$$

  $$P(T\le 2\, ) = 30.0\,\%$$

  $$P(T\le 4\, ) = 50.9\,\%$$

  $$P(T\le 10\, ) = 83.1\,\%$$

  $$P(T\le 20\, ) = 97.2\,\%.$$

  
  

• Se ripetiamo l'esperimento $n=100$ volte ci aspettiamo che il numero di volte che si osserveranno tempi di attesa inferiori a $t_i$ sia (usando la notazione ``previsione $\pm$ incertezza di previsione'')
  $$\char93 (T\le t_i) = n\,P(T\le t_i) \pm \sqrt{n\,P(T\le t_i)\,(1-P(T\le t_i))}\,,$$
  ovvero frequenze relative
  $$\frac{\char93 (T\le t_i)}{n} = P(T\le t_i) \pm \frac{\sqrt{P(T\le t_i)\,(1-P(T\le t_i))}}{\sqrt{n}}\,.$$
  Otteniamo, ad esempio:
  

  $$\char93 (T\le 1\, ) = 16.3 \pm 3.7$$

  $$\char93 (T\le 2\, ) = 30.0 \pm 4.6$$

  $$\char93 (T\le 4\, ) = 50.9 \pm 5.0$$

  $$\char93 (T\le 10\, ) = 83.1 \pm 3.7$$

  $$\char93 (T\le 20\, ) = 97.2 \pm 1.7\,,$$

  
  
  le quali, essendo $n=100$ corrispondono anche alle frequenze relative espresse in percentuali.

È interessante confrontare queste previsioni con quanto ``osservato'' nell'esperimento simulato (vedi tabelle 1.2 e 5.1). Il numero di volte che si è verificato un tempo di attesa inferiore a 1, 2, 4, 10 e 20 secondi è, rispettivamente: 19, 30, 50, 83 e 99, in ``ottimo accordo'' con le previsioni. A questo punto è importante notare come i dati simulati non siano stati minimamente truccati o, per dire la stessa cosa con un eufemismo, ``filtrati per ragioni didattiche''. Il fatto è che è semplicemente molto poco probabile ottenere distribuzioni di frequenze relative che si discostano molto dalla distribuzione di probabilità e pertanto sarebbe stato ``sorprendente'' non osservare una distribuzione non in accordo, entro le incertezze di previsione, con le previsioni stesse.