next up previous contents
Next: Pallinometro Up: Contatore Previous: Conteggi a intervalli di   Indice

Tempi di attesa per ottenere un numero prestabilito di conteggi

Nei paragrafi precedenti ci siamo interessati al numero di conteggi registrati con un contatore a scintillazione avendo fissato il tempo di lettura. È stata invece persa l'informazione sulla sequenza temporale degli eventi. Prima di passare alla misura, cerchiamo di farci un'idea di cosa ci aspettiamo in base ai dati della tabella 1.1. Essendoci convinti che ci aspettiamo un evento ogni 5.6 secondi, anche se non ci dobbiamo sorprendere se a volte bisogna attendere molto di più o se altre volte arrivano raffiche di eventi quasi simultanei, poniamoci ancora delle domande.
  1. Supponiamo di dividere il tempo di attesa in intervallini di un secondo e di dover fare una scommessa in cui vince chi indovina l'intervallino esatto in cui si verificherà il conteggio, su quale intervallino converrà puntare? Sul sesto, ovvero quello che è quasi centrato sul tempo medio di attesa? Detto in altre parole, è più probabile misurare tempi compresi fra 5 e 6 secondi che misurare tempi compresi fra 0 e 1 secondi, fra 1 e 2, etc.? O, ancora, è più probabile osservare valori compresi fra 0 e 5.6 secondi o valori maggiori di 5.6 secondi?
  2. Cosa ci dobbiamo aspettare se ci interessiamo invece al tempo di attesa per registrare $ k$ conteggi? È ragionevole pensare che il tempo medio di attesa sia $ k$ volte quello necessario per il primo conteggio? Come saranno le fluttuazioni intorno a tale valore?
Anche per queste domande cerchiamo delle risposte intuitive:
  1. il tempo di attesa non può essere negativo, ma può essere arbitrariamente grande (anche se le grandissime fluttuazioni sembrano molto poco probabili). Quindi il numero di intervallini è infinito. Ma essendo la media nel sesto intervallino, ci aspettiamo che gli intervallini al si sotto di esso si verifichino con frequenza superiore di quelli al di sopra in modo tale da compensare, nel calcolo della media, i grandi tempi di questi ultimi.


    Tabella: Tempi di attesa per osservare un numero prefissato di eventi. Questi dati simulano quelli ottenibili con contatore che lavori nelle stesse condizioni di quello con cui sono stati ottenuti i dati di tabella 1.1.
    1 conteggio
    6.9 6.2 4.8 12.1 17.2 6.6 10.5 3.0 17.2 0.2
    1.5 0.6 11.5 1.7 1.7 3.8 2.9 5.5 4.1 8.1
    2.5 6.4 0.1 0.3 4.2 2.3 0.2 8.0 5.3 2.4
    1.8 2.9 9.6 0.4 9.6 2.6 10.4 5.3 10.2 0.4
    17.3 0.7 3.1 11.0 9.0 1.0 5.1 1.8 6.6 2.8
    8.1 11.3 0.2 0.0 8.0 1.4 4.1 2.4 6.7 3.8
    15.0 2.1 8.9 0.0 0.3 5.9 2.6 1.2 3.8 20.6
    1.0 3.4 0.9 5.0 1.8 2.6 10.0 11.4 7.8 4.4
    12.6 1.9 0.8 8.0 3.8 18.8 0.6 6.2 0.9 5.7
    3.2 4.6 2.9 0.6 2.7 5.7 0.2 14.4 8.8 1.6
    2 conteggi
    1.7 17.6 26.1 2.6 9.7 30.5 19.7 14.2 17.1 9.9
    5.1 19.2 13.5 9.8 6.6 7.8 7.1 16.3 15.9 25.2
    9.9 4.1 12.0 14.8 1.1 28.0 33.8 5.8 34.3 17.1
    11.5 1.8 12.4 14.0 2.7 2.2 16.2 7.6 0.6 9.0
    11.8 15.2 17.1 18.5 29.5 6.1 7.1 7.2 9.3 15.6
    5 conteggi
    42.5 15.3 12.0 40.6 38.9 25.8 18.1 36.8 30.1 30.9
    28.2 21.6 35.8 7.6 18.8 20.6 36.8 28.9 17.9 16.1
    38.4 19.2 25.5 43.3 16.8 16.8 48.5 21.2 30.2 24.8
    36.7 43.1 35.1 40.6 28.4 51.0 34.4 52.1 35.3 34.8
    39.0 40.6 24.5 20.5 27.7 33.4 52.2 13.3 39.4 11.6
    10 conteggi
    61.0 36.0 55.6 47.6 28.4 66.8 64.5 31.4 29.7 49.9
    67.5 42.9 62.3 57.2 70.1 73.1 25.8 46.9 43.4 47.6
    55.6 45.1 49.9 47.1 103.9 68.5 61.1 83.7 103.3 63.8
    24.5 54.6 67.9 32.9 68.8 60.2 36.9 70.5 54.1 50.4
    35.2 85.7 50.7 45.9 89.7 51.4 64.4 109.2 58.7 76.0
    20 conteggi
    115.7 136.7 86.7 145.2 160.9 121.0 110.9 98.8 94.2 87.3
    117.9 110.2 124.1 86.6 146.2 120.2 114.4 124.8 64.7 107.1
    129.7 108.4 115.7 120.8 141.8 157.7 168.7 96.0 101.1 118.4
    82.1 80.0 98.8 140.5 78.2 128.6 150.1 114.4 83.5 120.7
    118.5 122.4 113.3 108.7 99.6 141.8 149.8 131.0 136.7 146.8
    50 conteggi
    346 228 327 228 209 297 285 291 245 280
    284 272 325 201 286 301 298 335 233 346
    294 296 267 254 240 251 297 244 344 267
    190 265 267 249 225 238 266 286 285 235
    227 305 246 246 296 253 255 286 208 285
    100 conteggi
    590 669 580 586 498 513 629 537 579 568
    627 542 493 527 459 518 629 518 586 619
    516 617 548 586 594 524 564 551 515 558
    549 627 570 575 490 626 533 491 489 529
    488 663 608 545 550 652 574 560 623 623


    Anche se da questi argomenti non si può concludere l'andamento decrescente della probabilità in funzione del numero di intervallino (come verificheremo), si può senz'altro affermare che è più probabile misurare tempi inferiori che tempi superiori a quello medio di attesa (anticipando il risultato esatto: 63% contro 37%);
  2. è abbastanza naturale che il tempo medio di attesa debba essere proporzionale al numero di conteggi. Più complicato è fare affermazioni intuitive sulle fluttuazioni dei tempi intorno alla media e sulle probabilità dei vari intervallini. Ciò nonostante sembra abbastanza naturale attendersi che alla regolarizzazione del processo per grandi tempi di misura se ne debba accompagnare una analoga per un gran numero di conteggi. Per esempio, dalla tabella 1.1 per 300 s si vede come fluttuazioni oltre il $ \pm 30\,\%$ del numero tipico (intorno a 50) siano rare. Quindi in media bisogna aspettare circa 300 s per osservare una cinquantina conteggi, ma dovranno essere veramente molto rare le fluttuazioni di oltre il doppio o di meno della metà di tale tempo, cosa invece frequentissima nel caso di un solo conteggio.

I dati sperimentali (simulati) sono riportati in tabella 1.2. Si notino le enormi fluttuazioni per attendere il primo conteggio e le minori fluttuazioni relative per registrare 100 conteggi (per un conteggio sono state riportati più valori ``misurati'' per meglio capirne il comportamento).

Per comprendere le ragioni della migliore stabilità per grandi conteggi è importante la seguente osservazione: essendo il fenomeno che determina un conteggio del tutto casuale, si ha la stessa distribuzione di tempi di attesa sia che si faccia partire il cronometro manualmente a tempi arbitrari, sia che si prenda per ``start'' del cronometro l'istante di arrivo dell'ultimo evento. Quindi il tempo di attesa di $ n$ eventi è pari alla somma di $ n$ tempi di attesa di un evento, ognuno indipendente dall'altro. Per questo motivo le enormi fluttuazioni intorno al tempo di attesa medio tenderanno a compensarsi, ``in media'', ma non necessariamente!


next up previous contents
Next: Pallinometro Up: Contatore Previous: Conteggi a intervalli di   Indice
Giulio D'Agostini 2001-04-02