Limite a poissoniana della distribuzione binomiale

Quando una distribuzione binomiale ha $p$ ``molto piccolo'' e $n$ ``molto grande'', la funzione di probabilità non dipende dai due parametri $n$ e $p$ separatamente, ma soltanto dalla combinazione $n\,p$, pari al valore atteso, purché questo sia, ovviamente finito. Come primo esempio, supponiamo di far scendere 10000 palline in un pallinometro a 32 file di chiodi. Quante palline arriveranno nella celletta numero 7 ($bin7$)? La probabilità che una singola pallina cada in tale celletta è pari a $7.8\times 10^{-4}$ (vedi formula (7.2) e tabella 7.5). Quindi il numero aleatorio di interesse segue una distribuzione binomiale avente $p=7.8\times 10^{-4}$, $n=10^\cdot 000$, valore atteso 7.8 e deviazione standard 2.8. Come si vede, le condizioni di $p$ molto piccolo, $n$ molto grande e $n\,p$ finito sono soddisfatte e quindi lo stesso numero è descritto abbastanza bene da una poissoniana di $\lambda=7.8$. Riportiamo, nella tabella 7.4

Tabella: Confronto fra alcuni valori della distribuzione binomiale e la distribuzione di Poisson che la approssima.

X	$P$ binomiale	$P$ poissoniana
	( $p=0.0078, n=10000$)	( $\lambda=7.8$)
0	$4.085\times 10^{-4}$	$4.097\times 10^{-4}$
1	$3.189\times 10^{-3}$	$3.196\times 10^{-3}$
2	$1.244\times 10^{-2}$	$1.246\times 10^{-2}$
...
7	$0.142848$	$0.142802$
8	$0.139288$	$0.139232$
9	$0.120713$	$0.120668$
...
20	$1.1627\times 10^{-4}$	$1.1702\times 10^{-4}$
...
50	$4.98\times 10^{-24}$	$5.42\times 10^{-24}$
...
100	$4.7\times 10^{-73}$	$7.1\times 10^{-73}$
...
1000	$9.7\times 10^{-1702}$	$1.3\times 10^{-1679}$
...
10000	$8.8\times 10^{-31080}$	$1.3\times 10^{-26742}$
10001	0	$9.9\times 10^{-26746}$

il confronto fra la distribuzione binomiale e la distribuzione di Poisson che l'approssima. Si noti come, con i parametri dell'esempio, l'accordo sia ottimo per piccoli valori della variabile e si mantiene ragionevole addirittura oltre la decina di deviazioni standard dal valore atteso. Quando $X$ diventa confrontabile con $n$ l'approssimazione è naturamente pessima.

Come secondo esempio consideriamo ora il caso del lancio di 30 palline in un pallinometro a due file di chiodi. Interessiamoci all'evento $E$ ``il numero di palline che cadono nel bin centrale ($bin1$) è minore uguale a 10''. Dalla tabella 7.1 calcoliamo la probabilità di tale evento:

$$P(E) = 4.93\,\%\,.$$

Immaginiamo ora che 60 studenti eseguano tale esperimento e siamo interessati al numero di studenti ai quali accada l'evento $E$. Indichiamo con $X$ questo nuovo numero aleatorio. Esso è descritto da una distribuzione binomiale avente $p=P(E)=0.0493$ e $n=60$. Quindi:

$$X \sim {\cal B}_{60, 0.0493}$$

$$(X) = 2.96$$

$$\sigma(X) = 1.68\,.$$

Date le condizioni, $X$ può essere descritta con buona approssimazione da una poissoniana di $\lambda = 2.96$:

$$X \sim {\cal P}_{2.96}$$

$$(X) = 2.96$$

$$\sigma(X) = 1.72\,.$$

Per confronto, calcoliamo la probabilità che a nessuno studente capiti tale evento, che esso capiti ad esattamente due studenti, a quattro, a più di cinque e ad almeno 10:

$$P(X=0) = \left\{\begin{array}{ll} \mbox{binomiale:} & 4.8\,\% \\ \mbox{poissoniana:} & 5.2\,\% \end{array}\right.$$

$$P(X=2) = \left\{\begin{array}{ll} \mbox{binomiale:} & 22.9\,\% \\ \mbox{poissoniana:} & 22.7\,\% \end{array}\right.$$

$$P(X=4) = \left\{\begin{array}{ll} \mbox{binomiale:} & 17.0\,\% \\ \mbox{poissoniana:} & 16.6\,\% \end{array}\right.$$

$$P(X>5) = \left\{\begin{array}{ll} \mbox{binomiale:} & 7.5\,\% \\ \mbox{poissoniana:} & 8.0\,\% \end{array}\right.$$

$$P(X\ge 10) = \left\{\begin{array}{ll} \mbox{binomiale:} & 0.066\,\% \\ \mbox{poissoniana:} & 0.099\,\% \end{array}\right.$$

Come si vede, le probabilità sono praticamente uguali intorno al centro della distribuzione, mentre, naturalmente, tendono a differire molto sulle code. In particolare, si ricordi come la variabile casuale di una distribuzione binomiale può assumere valori fino a $n$, mentre per la distribuzione di Poisson non c'è alcun limite. Quindi nel nostro caso:

$$P(X=60) = \left\{\begin{array}{ll} \mbox{binomiale:} & 3.7\times 10^{-79} \\ \mbox{poissoniana:} & 1.1\times 10^{-55} \end{array}\right.$$

$$P(X=61) = \left\{\begin{array}{ll} \mbox{binomiale:} & 0 \\ \mbox{poissoniana:} & 5.5\times 10^{-57} \end{array}\right.$$

$$P(X>60) = \left\{\begin{array}{ll} \mbox{binomiale:} & 0 \\ \mbox{poissoniana:} & 5.8\times 10^{-57} \end{array}\right.$$