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Limite a poissoniana della distribuzione binomiale

Quando una distribuzione binomiale ha $ p$ ``molto piccolo'' e $ n$ ``molto grande'', la funzione di probabilità non dipende dai due parametri $ n$ e $ p$ separatamente, ma soltanto dalla combinazione $ n\,p$, pari al valore atteso, purché questo sia, ovviamente finito. Come primo esempio, supponiamo di far scendere 10000 palline in un pallinometro a 32 file di chiodi. Quante palline arriveranno nella celletta numero 7 ($ bin7$)? La probabilità che una singola pallina cada in tale celletta è pari a $ 7.8\times 10^{-4}$ (vedi formula (7.2) e tabella 7.5). Quindi il numero aleatorio di interesse segue una distribuzione binomiale avente $ p=7.8\times 10^{-4}$, $ n=10^\cdot 000$, valore atteso 7.8 e deviazione standard 2.8. Come si vede, le condizioni di $ p$ molto piccolo, $ n$ molto grande e $ n\,p$ finito sono soddisfatte e quindi lo stesso numero è descritto abbastanza bene da una poissoniana di $ \lambda=7.8$. Riportiamo, nella tabella 7.4

Tabella: Confronto fra alcuni valori della distribuzione binomiale e la distribuzione di Poisson che la approssima.
X $ P$ binomiale $ P$ poissoniana
  ( $ p=0.0078, n=10000$) ( $ \lambda=7.8$)
     
0 $ 4.085\times 10^{-4}$ $ 4.097\times 10^{-4}$
1 $ 3.189\times 10^{-3}$ $ 3.196\times 10^{-3}$
2 $ 1.244\times 10^{-2}$ $ 1.246\times 10^{-2}$
...    
7 $ 0.142848$ $ 0.142802$
8 $ 0.139288$ $ 0.139232$
9 $ 0.120713$ $ 0.120668$
...    
20 $ 1.1627\times 10^{-4}$ $ 1.1702\times 10^{-4}$
...    
50 $ 4.98\times 10^{-24}$ $ 5.42\times 10^{-24}$
...    
100 $ 4.7\times 10^{-73}$ $ 7.1\times 10^{-73}$
...    
1000 $ 9.7\times 10^{-1702}$ $ 1.3\times 10^{-1679}$
...    
10000 $ 8.8\times 10^{-31080}$ $ 1.3\times 10^{-26742}$
10001 0 $ 9.9\times 10^{-26746}$
     


il confronto fra la distribuzione binomiale e la distribuzione di Poisson che l'approssima. Si noti come, con i parametri dell'esempio, l'accordo sia ottimo per piccoli valori della variabile e si mantiene ragionevole addirittura oltre la decina di deviazioni standard dal valore atteso. Quando $ X$ diventa confrontabile con $ n$ l'approssimazione è naturamente pessima.

Come secondo esempio consideriamo ora il caso del lancio di 30 palline in un pallinometro a due file di chiodi. Interessiamoci all'evento $ E$ ``il numero di palline che cadono nel bin centrale ($ bin1$) è minore uguale a 10''. Dalla tabella 7.1 calcoliamo la probabilità di tale evento:

$\displaystyle P(E) = 4.93\,\%\,.$

Immaginiamo ora che 60 studenti eseguano tale esperimento e siamo interessati al numero di studenti ai quali accada l'evento $ E$. Indichiamo con $ X$ questo nuovo numero aleatorio. Esso è descritto da una distribuzione binomiale avente $ p=P(E)=0.0493$ e $ n=60$. Quindi:
$\displaystyle X$ $\displaystyle \sim$ $\displaystyle {\cal B}_{60, 0.0493}$  
E$\displaystyle (X)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2.96$  
$\displaystyle \sigma(X)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1.68\,.$  

Date le condizioni, $ X$ può essere descritta con buona approssimazione da una poissoniana di $ \lambda = 2.96$:
$\displaystyle X$ $\displaystyle \sim$ $\displaystyle {\cal P}_{2.96}$  
E$\displaystyle (X)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2.96$  
$\displaystyle \sigma(X)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1.72\,.$  

Per confronto, calcoliamo la probabilità che a nessuno studente capiti tale evento, che esso capiti ad esattamente due studenti, a quattro, a più di cinque e ad almeno 10:
$\displaystyle P(X=0)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \left\{\begin{array}{ll} \mbox{binomiale:} & 4.8\,\% \\
\mbox{poissoniana:} & 5.2\,\%
\end{array}\right.$  
$\displaystyle P(X=2)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \left\{\begin{array}{ll} \mbox{binomiale:} & 22.9\,\% \\
\mbox{poissoniana:} & 22.7\,\%
\end{array}\right.$  
$\displaystyle P(X=4)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \left\{\begin{array}{ll} \mbox{binomiale:} & 17.0\,\% \\
\mbox{poissoniana:} & 16.6\,\%
\end{array}\right.$  
$\displaystyle P(X>5)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \left\{\begin{array}{ll} \mbox{binomiale:} & 7.5\,\% \\
\mbox{poissoniana:} & 8.0\,\%
\end{array}\right.$  
$\displaystyle P(X\ge 10)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \left\{\begin{array}{ll} \mbox{binomiale:} & 0.066\,\% \\
\mbox{poissoniana:} & 0.099\,\%
\end{array}\right.$  

Come si vede, le probabilità sono praticamente uguali intorno al centro della distribuzione, mentre, naturalmente, tendono a differire molto sulle code. In particolare, si ricordi come la variabile casuale di una distribuzione binomiale può assumere valori fino a $ n$, mentre per la distribuzione di Poisson non c'è alcun limite. Quindi nel nostro caso:
$\displaystyle P(X=60)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \left\{\begin{array}{ll} \mbox{binomiale:} & 3.7\times 10^{-79} \\
\mbox{poissoniana:} & 1.1\times 10^{-55}
\end{array}\right.$  
$\displaystyle P(X=61)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \left\{\begin{array}{ll} \mbox{binomiale:} & 0 \\
\mbox{poissoniana:} & 5.5\times 10^{-57}
\end{array}\right.$  
$\displaystyle P(X>60)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \left\{\begin{array}{ll} \mbox{binomiale:} & 0 \\
\mbox{poissoniana:} & 5.8\times 10^{-57}
\end{array}\right.$  


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Giulio D'Agostini 2001-04-02