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Quando una distribuzione binomiale ha ``molto piccolo'' e
``molto grande'', la funzione di probabilità non dipende
dai due parametri e separatamente, ma soltanto dalla
combinazione , pari al valore atteso, purché questo sia,
ovviamente finito.
Come primo esempio, supponiamo di far scendere 10000
palline in un pallinometro a 32 file di chiodi. Quante palline
arriveranno nella celletta numero 7 ()?
La probabilità che una singola pallina cada in tale celletta
è pari a
(vedi formula (7.2)
e tabella 7.5).
Quindi il numero aleatorio di interesse segue
una distribuzione binomiale avente
,
,
valore atteso 7.8 e deviazione standard 2.8. Come si vede,
le condizioni di molto piccolo, molto grande e finito
sono soddisfatte e quindi lo stesso numero è descritto
abbastanza bene da una poissoniana di
.
Riportiamo, nella tabella 7.4
Tabella:
Confronto fra alcuni valori
della distribuzione binomiale e la distribuzione
di Poisson che la approssima.
X |
binomiale |
poissoniana |
|
(
) |
(
) |
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
... |
|
|
7 |
|
|
8 |
|
|
9 |
|
|
... |
|
|
20 |
|
|
... |
|
|
50 |
|
|
... |
|
|
100 |
|
|
... |
|
|
1000 |
|
|
... |
|
|
10000 |
|
|
10001 |
0 |
|
|
|
|
|
il confronto fra la distribuzione binomiale e la distribuzione di
Poisson che l'approssima. Si noti come, con i parametri dell'esempio,
l'accordo sia ottimo per piccoli valori della variabile e
si mantiene ragionevole addirittura oltre la decina di
deviazioni standard dal valore atteso. Quando diventa confrontabile
con l'approssimazione è naturamente pessima.
Come secondo esempio consideriamo ora
il caso del lancio di 30 palline in un
pallinometro a due file di chiodi. Interessiamoci
all'evento ``il numero di palline che cadono
nel bin centrale () è minore uguale a 10''.
Dalla tabella 7.1 calcoliamo la probabilità
di tale evento:
Immaginiamo ora che 60 studenti eseguano tale esperimento
e siamo interessati al numero di studenti ai quali accada l'evento .
Indichiamo con questo nuovo numero aleatorio. Esso è descritto
da una distribuzione binomiale avente
e .
Quindi:
Date le condizioni, può essere descritta con buona approssimazione
da una poissoniana di
:
Per confronto, calcoliamo la probabilità che
a nessuno studente capiti tale evento, che esso capiti
ad esattamente due studenti, a quattro, a più di cinque
e ad almeno 10:
Come si vede, le probabilità sono praticamente uguali intorno al centro
della distribuzione, mentre, naturalmente, tendono a differire molto
sulle code. In particolare, si ricordi come la variabile casuale
di una distribuzione binomiale può assumere valori fino a , mentre
per la distribuzione di Poisson non c'è alcun limite. Quindi nel nostro caso:
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Giulio D'Agostini
2001-04-02