Limite a normale della binomiale

Come primo esempio di distribuzione binomiale approssimata da una distribuzione gaussiana, consideriamo l'esperimento del pallinometro di figura 1.2 e imaginiamo di essere interessati alla probabilità che, lanciando 1000 palline, almeno 255 terminino in una delle due cellette lateral1 (``0'' o ``2''). Il calcolo esatto sarebbe

$$P(X \ge 255) = \sum_{x=255}^{1000}\frac{1000!}{x!\,(1000-x)!} \left(\frac{1}{4}\right)^{x} \left(\frac{3}{4}\right)^{1000-x}\,,$$ (7.12)

impossibile con le normali calcolatrici. Ma poiché $X\sim {\cal B}_{1000,\frac{1}{4}}$, con valore atteso pari a $n\,p=250$ e deviazione standard $\sqrt{n\,p\,(1-p)} = 13.6$, la condizione di convergenza a normale è soddisfatta e quindi

$$X\sim {\cal N}(250, 13.7)\,.$$

Ne segue che

$$P(X \ge 255) = \int_{254.5}^\infty f(x\,\vert\,{\cal N}(250, 13.7))\,dx$$

$$= \int_{0.33}^\infty f(z\,\vert\,{\cal N}(0, 1))\,dz$$

$$= 0.5 - T(0.33) = 0.3707\,,$$

ove, come esercizio, è stato riportato il dettaglio del calcolo sia per quanto riguarda il passaggio alla normale standardizzata $Z$ che alla valutazione mediante la tabella che fornisce l'integrale della normale standardizzata da 0 a $z$ (indicato con $T(z)$). La differenza rispetto al valore esatto di 0.3692 calcolato dalla (7.12) è inferiore al mezzo percento.

Per esercitarci ancora a fare ginnastica fra le varie distribuzioni, calcoliamo previsione e incertezza di previsione del numero di volte che almeno 255 palline su 1000 cadono in una celletta laterale, se l'esperimento viene ripetuto, come nella tabella 1.3 per 10 volte. Di nuovo abbiamo a che fare con 10 processi di Bernoulli indipendenti, ciascuno di probabilità 0.37 (arrotondiamo per non perderci dietro i dettagli numerici). Ci aspettiamo quindi che questo si verifichi $3.7\,\pm 1.5$ volte. Il risultato dell'esperimento simulato è 3 volte se si considera il bin 0 e 2 volte se si considera il bin 1 (si faccia attenzione al fatto che il numero di palline nelle due cellette sono correlati!). Ancora una volta l'accordo è buono e ancora una volta invitiamo a non dare nessun significato ``metafisico'' (nel senso negativo del termine) o scaramantico al fatto di aver osservato qualcosa che aveva alta probabilità di accadere.

Come secondo esempio di tendenza della binomiale a normale e sempre con riferimento al pallinometro, calcoliamo la probabilità che una pallina cada in una certa celletta se abbiamo un pallinometro a molte file di chiodi, ad esempio 32 file, che è una delle massime configurazioni ottenibili con il pallinometro simulato a disposizione degli studenti a Roma. La variabile $X$ = ``numero di celletta'' può andare da 0 a 32 ed è distribuita secondo una binomiale di $p=1/2$ e $n=32$, con valore atteso 16 e deviazione standard 2.8. Calcoliamo la probabilità con la formula esatta o usando l'approssimazione a normale. Inoltre calcoliamo la previsione del numero di palline che terminano nelle varie cellette se lanciamo in totale $10^\cdot 000$ o $1^\cdot 000^\cdot 000$ di palline. Per queste ultime è riportato il conto esatto e non quello approssimato. I risultati sono riportati in tabella 7.5

Tabella: Probabilità dei vari esiti del pallinomatro a 32 file di chiodi calcolata con la formula esatta e con l'approssimazione gaussiana (per quest'ultima è data anche la probabilità al di là della regione fisica). Nelle ultime due colonne sono anche riportate le previsioni ($\pm\,$incertezza) del numero di palline che terminano in ciascuna celletta se si lanciano $10^\cdot 000$ o $1^\cdot 000^\cdot 000$ di palline.

i	$P$ binom.	$P$ gauss.	# su $10^\cdot 000$	# su $1^\cdot 000^\cdot 000$
${\mathbf < 0}$	0	${\mathbf 2.7\cdot 10^{-9}}$	0	0
0	$2.3\cdot 10^{-10}$	$1.9\cdot 10^{-8}$	$2.3\cdot 10^{-6} \pm 1.5\cdot 10^{-3}$	$2.3\cdot 10^{-4} \pm 1.5\cdot 10^{-2}$
1	$7.5\cdot 10^{-9}$	$1.3\cdot 10^{-7}$	$7.5\cdot 10^{-5} \pm 8.6\cdot 10^{-3}$	$7.5\cdot 10^{-3} \pm 8.6\cdot 10^{-2}$
2	$1.2\cdot 10^{-7}$	$7.6\cdot 10^{-7}$	$1.2\cdot 10^{-3} \pm 3.2\cdot 10^{-2}$	$0.12 \pm 0.34$
3	$1.2\cdot 10^{-6}$	$4.0\cdot 10^{-6}$	$1.2\cdot 10^{-2} \pm 1.1\cdot 10^{-1}$	$1.2 \pm 1.1$
4	$8.4\cdot 10^{-6}$	$1.9\cdot 10^{-5}$	$0.08 \pm 0.29$	$8.4 \pm 2.9$
5	$4.7\cdot 10^{-5}$	$7.8\cdot 10^{-5}$	$0.47 \pm 0.68$	$47 \pm 7$
6	$2.1\cdot 10^{-4}$	$2.9\cdot 10^{-4}$	$2.1 \pm 1.5$	$210 \pm 15$
7	$7.8\cdot 10^{-4}$	$9.4\cdot 10^{-4}$	$7.8 \pm 2.8$	$784 \pm 28$
8	$2.4\cdot 10^{-3}$	$2.7\cdot 10^{3}$	$24.5 \pm 4.9$	$(2.45 \pm 0.05)\times 10^{-3}$
9	$6.5\cdot 10^{-3}$	$6.8\cdot 10^{-3}$	$65.3 \pm 8.1$	$(6.53 \pm 0.08)\times 10^{3}$
10	$1.50\cdot 10^{-2}$	$1.51\cdot 10^{-2}$	$150 \pm 12$	$(15.02 \pm 0.12)\times 10^{3}$
11	$3.004\cdot 10^{-2}$	$2.989\cdot 10^{-2}$	$300 \pm 17$	$(30.02 \pm 0.17)\times 10^{3}$
12	$5.257\cdot 10^{-2}$	$5.216\cdot 10^{-2}$	$526 \pm 22$	$(52.57 \pm 0.22)\times 10^{3}$
13	$8.088\cdot 10^{-2}$	$8.042\cdot 10^{-2}$	$809 \pm 27$	$(80.88 \pm 0.27)\times 10^{3}$
14	0.1098	0.1096	$(1.097 \pm 0.031)\times 10^{3}$	$(109.77 \pm 0.31)\times 10^{3}$
15	0.1317	0.1319	$(1.317 \pm 0.034)\times 10^{3}$	$(131.72 \pm 0.34)\times 10^{3}$
16	0.13995	0.14032	$(1.400 \pm 0.035)\times 10^{3}$	$(139.95 \pm 0.35)\times 10^{3}$
17	0.1317	0.1319	$(1.317 \pm 0.034)\times 10^{3}$	$(131.72 \pm 0.34)\times 10^{3}$
18	0.1098	0.1096	$(1.097 \pm 0.031)\times 10^{3}$	$(109.77 \pm 0.31)\times 10^{3}$
19	$8.088\cdot 10^{-2}$	$8.042\cdot 10^{-2}$	$809 \pm 27$	$(80.88 \pm 0.27)\times 10^{3}$
20	$5.257\cdot 10^{-2}$	$5.216\cdot 10^{-2}$	$526 \pm 22$	$(52.57 \pm 0.22)\times 10^{3}$
21	$3.004\cdot 10^{-2}$	$2.989\cdot 10^{-2}$	$300 \pm 17$	$(30.02 \pm 0.17)\times 10^{3}$
22	$1.50\cdot 10^{-2}$	$1.51\cdot 10^{-2}$	$150 \pm 12$	$(15.02 \pm 0.12)\times 10^{3}$
23	$6.5\cdot 10^{-3}$	$6.8\cdot 10^{-3}$	$65.3 \pm 8.1$	$(6.53 \pm 0.08)\times 10^{3}$
24	$2.4\cdot 10^{-3}$	$2.7\cdot 10^{3}$	$24.5 \pm 4.9$	$(2.45 \pm 0.05)\times 10^{-3}$
25	$7.8\cdot 10^{-4}$	$9.4\cdot 10^{-4}$	$7.8 \pm 2.8$	$784 \pm 28$
26	$2.1\cdot 10^{-4}$	$2.9\cdot 10^{-4}$	$2.1 \pm 1.5$	$210 \pm 15$
27	$4.7\cdot 10^{-5}$	$7.8\cdot 10^{-5}$	$0.47 \pm 0.68$	$47 \pm 7$
28	$8.4\cdot 10^{-6}$	$1.9\cdot 10^{-5}$	$0.08 \pm 0.29$	$8.4 \pm 2.9$
29	$1.2\cdot 10^{-6}$	$4.0\cdot 10^{-6}$	$1.2\cdot 10^{-2} \pm 1.1\cdot 10^{-1}$	$1.2 \pm 1.1$
30	$1.2\cdot 10^{-7}$	$7.6\cdot 10^{-7}$	$1.2\cdot 10^{-3} \pm 3.2\cdot 10^{-2}$	$0.12 \pm 0.34$
31	$7.5\cdot 10^{-9}$	$1.3\cdot 10^{-7}$	$7.5\cdot 10^{-5} \pm 8.6\cdot 10^{-3}$	$7.5\cdot 10^{-3} \pm 8.6\cdot 10^{-2}$
32	$2.3\cdot 10^{-10}$	$1.9\cdot 10^{-8}$	$2.3\cdot 10^{-6} \pm 1.5\cdot 10^{-3}$	$2.3\cdot 10^{-4} \pm 1.5\cdot 10^{-2}$
${\mathbf > 32}$	0	${\mathbf 2.7\cdot 10^{-9}}$	0	0